Пределы Сравнение бесконечно малых Примеры

Пример 2.34 Поскольку, как мы видели в примерах выше, $x^2\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{x\to0}}x$ и $x\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{x\to0}}\sin3x$ , то

-- величина большего порядка малости, чем $\sin3x$ .

Определение 2.17 Пусть ${\varphi}(x)$ и $\psi(x)$ -- бесконечно малые при базе $\mathcal{B}$ и

$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}=1.$

Тогда бесконечно малая ${\varphi}(x)$ называется эквивалентной бесконечно малой $\psi(x)$ при базе $\mathcal{B}$ . Это обозначается следующим образом:

$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x).$

Очевидно, что если величина ${\varphi}(x)$ эквивалентна величине $\psi(x)$ , то они имеют один и тот же порядок малости (так как при этом $L=1\ne0$ ). Кроме того, свойство двух бесконечно малых величин быть эквивалентными, то есть отношение $\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}$ , (так же, как и отношение $\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}$ ) рефлексивно, транзитивно и симметрично. А именно, имеет место

Предложение 2.4 Если при базе $\mathcal{B}$ бесконечно малая ${\varphi}(x)$ эквивалентна бесконечно малой $\psi(x)$ , то и $\psi(x)$ эквивалентна ${\varphi}(x)$ :

Если две бесконечно малых ${\varphi}(x)$ и $\psi(x)$ эквивалентны, и две бесконечно малых $\psi(x)$ и $\chi(x)$ тоже эквивалентны при базе $\mathcal{B}$ , то две величины ${\varphi}(x)$ и $\chi(x)$ также эквивалентны при базе $\mathcal{B}$ :

Итак, отношение эквивалентности $\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}$ обладает свойствами симметричности (S

), транзитивности (T

) и рефлексивности (R

) и, следовательно, разбивает множество всех бесконечно малых при данной базе $\mathcal{B}$ величин на классы эквивалентных между собой бесконечно малых. Эти классы более мелкие, чем классы бесконечно малых величин одного порядка малости, на которые то же самое множество бесконечно малых разбивается отношением $\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}$ .

Пример 2.35 Согласно первому замечательному пределу, $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1.$ Это означает, что

$\displaystyle \sin x\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\to0}}x.$

Кроме того, в примере 2.20 мы показали, что $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arcsin x}{x}=1.$ Это означает, что

$\displaystyle \arcsin x\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\to0}}x.$

Польза для вычисления пределов от использования эквивалентности бесконечно малых, а также от бесконечно малых большего порядка выражается следующими утверждениями.

Предложение 2.5 Пусть существует предел $\lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)},$ где ${\varphi}(x)$ и $\psi(x)$ -- бесконечно малые при базе $\mathcal{B}$ . Пусть также ${\varphi}_1(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}(x)$ и $\psi_1(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x)$ . Тогда существует предел

$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}_1(x)}{\psi_1(x)}= \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)},$

то есть бесконечно малые как в числителе, так и в знаменателе неопределённости вида $\left[\frac{0}{0}\right]$ можно заменять на эквивалентные им бесконечно малые: величина предела от этого не изменится.

и заметим, что эквивалентность величин ${\varphi}(x)$ и ${\varphi}_1(x)$ , $\psi(x)$ и $\psi_1(x)$ означает, что первый и последний пределы в правой части этой формулы равны1.

Совершенно так же доказывается уточнение доказанного только что предложения. Это уточнение означает, что заменять эквивалентными можно не только числитель или знаменатель целиком, но и любой бесконечно малый множитель в числителе или знаменателе:

Предложение 2.6 Пусть ${\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}_1(x)$ , $\psi(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}\psi_1(x)$ и существует предел

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{f(x){\varphi}(x)}{g(x)\psi(x)}=L.$

Тогда ${\varphi}(x)$ и $\psi(x)$ можно заменить на эквивалентные, и значение предела не изменится, то есть

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{f(x){\varphi}_1(x)}{g(x)\psi_1(x)}=L.$

Предложение 2.7 Пусть ${\alpha}(x)\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}(x)$ , ${\beta}(x)\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x)$ и существует предел $\lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}$ . Тогда существует предел

$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)+{\alpha}(x)}{\psi(x)+{\beta}(x)}= \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)},$

то есть бесконечно малые большего порядка можно отбрасывать как в числителе, так и в знаменателе неопределённости вида $\left[\frac{0}{0}\right]:$ величина предела от этого не изменится.

Доказательство. Согласно предложению 2.5, достаточно доказать, что если ${\alpha}(x)\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}(x)$ , то ${\varphi}(x)+{\alpha}(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}(x)$ . Но это следует из такой цепочки равенств:

Атомная энергетика. Ядерные реакторы АЭС. Атомный флот. Ядерное оружие
Атомные станции	Реактор БН-800	ВВЭР-1000	РБМК-1000
Ледоколы	Подлодки	Флот	Гражданский суда
Ядерное оружие	Ядерная физика	Плавучие АЭС	Авиация

Высшая математика
1 семестр	2 семестр	3 семестр	Задачи
Интеграл	Курсовая	Контрольная	Практикум
Алгебра	Матанализ	Геометрия	Карта сайта

Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Атомная энергетика. Ядерные реакторы АЭС. Атомный флот. Ядерное оружие

Высшая математика