Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

   Пример 12.6   Постройте параболу . Найдите ее фокус и директрису.

Решение. Уравнение является каноническим уравнением параболы, , . Осью параболы служит ось , вершина находится в начале координат, ветви параболы направлены вдоль оси . Для построения найдем несколько точек параболы. Для этого придаем значения переменному и находим значения . Возьмем точки , , . Учитывая симметрию относительно оси , рисуем кривую (рис. 12.17)

Рис.12.17.Парабола, заданная уравнением

Фокус лежит на оси на расстоянии от вершины, то есть имеет координаты . Директриса имеет уравнение , то есть .         

Парабола так же, как и эллипс, обладает свойством, связанным с отражением света (рис. 12.18). Свойство сформулируем опять без доказательства.

        Предложение 12.5   Пусть  -- фокус параболы,  -- произвольная точка параболы,  -- луч с началом в точке параллельный оси параболы. Тогда нормаль к параболе в точке делит угол, образованный отрезком и лучом , пополам.     

Рис.12.18.Отражение светового луча от параболы

Найти экстремумы функции f(x) = 2x3 - 15x2+ 36x - 14. Решение. Так как f ¢ (x) = 6x2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x1 = 2 и x2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
x1 = 2 и x2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.

Это свойство означает, что луч света, вышедший из фокуса , отразившись от параболы, дальше пойдет параллельно оси этой параболы. И наоборот, все лучи, приходящие из бесконечности и параллельные оси параболы, сойдутся в ее фокусе. Это свойство широко используется в технике. В прожекторах обычно ставят зеркало, поверхность которого получается при вращении параболы вокруг ее оси симметрии (параболическое зеркало). Источник света в прожекторах помещают в фокусе параболы. В результате прожектор дает пучок почти параллельных лучей света. Это же свойство используется и в приемных антеннах космической связи и в зеркалах телескопов, которые собирают поток параллельных лучей радиоволн или поток параллельных лучей света и концентрируют его в фокусе зеркала.

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой