Непрерывность функций Гиперболические функции и ареа-функции определения

Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Для рассмотрения дальнейших примеров нам понадобится определение гиперболических функций и ареа-функций, обратных к гиперболическим.

Определение 3.6 Гиперболическим синусом называется функция

$\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}).$

Гиперболическим косинусом называется функция

$\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}).$

Гиперболическим тангенсом называется функция

$\displaystyle \mathop{\rm th}\nolimits x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits x}{\mathop{\rm ch}\nolimits x}.$

Гиперболическим котангенсом называется функция

$\displaystyle \mathop{\rm cth}\nolimits x=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\dfrac{… …\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}=\dfrac{1}{\mathop{\rm th}\nolimits x}.$

Рис.3.26.Графики гиперболических функций

Функции $\mathop{\rm sh}\nolimits x$ , $\mathop{\rm th}\nolimits x$ и $\mathop{\rm cth}\nolimits x$ -- нечётные; функция $\mathop{\rm ch}\nolimits x$ -- чётная. Области определения гиперболических функций таковы:

$\displaystyle \mathcal{D}(\mathop{\rm sh}\nolimits )=\mathbb{R}, \mathcal{D}(… …mathbb{R}, \mathcal{D}(\mathop{\rm cth}\nolimits )=\mathbb{R}\diagdown \{0\};$

области значений-- следующие:

$\displaystyle \mathcal{E}(\mathop{\rm sh}\nolimits )=\mathbb{R}, \mathcal{E}(… …)=(-1;1), \mathcal{E}(\mathop{\rm cth}\nolimits )=(-\infty;-1)\cup(1;\infty).$

Упражнение 3.1 Докажите сделанные утверждения о том, какой вид имеют области значений гиперболических функций.

Замечание 3.2 В англоязычной литературе используется обозначение $\sinh$ вместо $\mathop{\rm sh}\nolimits$ , $\cosh$ вместо $\mathop{\rm ch}\nolimits$ , $\tanh$ вместо $\mathop{\rm th}\nolimits$ , $\coth$ вместо $\mathop{\rm cth}\nolimits$ .

Некоторые из свойств гиперболических функций схожи (но не всегда в точности совпадают) со свойствами соответствующих тригонометрических функций. Например, имеют место формулы:

$\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits ^2x-\mathop{\rm sh}\nolimits ^2x=1;$
$\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits 2x=2\mathop{\rm sh}\nolimits x\mathop{\rm ch}\nolimits x;$
$\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits (x+y)=\mathop{\rm ch}\nolimits x\mathop{\rm ch}\nolimits y+\mathop{\rm sh}\nolimits x\mathop{\rm sh}\nolimits y;$
$\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits (x+y)=\mathop{\rm sh}\nolimits x\mathop{\rm ch}\nolimits y+\mathop{\rm ch}\nolimits x\mathop{\rm sh}\nolimits y$

Атомная энергетика. Ядерные реакторы АЭС. Атомный флот. Ядерное оружие
Атомные станции	Реактор БН-800	ВВЭР-1000	РБМК-1000
Ледоколы	Подлодки	Флот	Гражданский суда
Ядерное оружие	Ядерная физика	Плавучие АЭС	Авиация

Высшая математика
1 семестр	2 семестр	3 семестр	Задачи
Интеграл	Курсовая	Контрольная	Практикум
Алгебра	Матанализ	Геометрия	Карта сайта

Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Атомная энергетика. Ядерные реакторы АЭС. Атомный флот. Ядерное оружие

Высшая математика