Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Определение 13.2 Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром.

Теорема 13.1 Сфера радиуса с центром в точке имеет уравнение

(13.2)

Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.1.

Пример 13.1 Нарисуйте сферу

Решение. Выделив полные квадраты получим

Значит, центром сферы является точка , радиус сферы равен 2. Вычисление площадей в полярных, параметрических и декартовых координатах

Для ее изображения нарисуем сечения сферы плоскостями, проходящими через центр и параллельными координатным плоскостям. Каждое такое сечение будет окружностью радиуса 2 с центром в точке (рис 4.1).

Рис.13.1.Сфера, изображенная сечениями

Более "художественное" изображение сферы приведено на рисунке 13.2

Рис.13.2.Сфера

3. Вычислить повторный интеграл .

Ñ ½интегрируя внутренний интеграл по «y», полагаем «x» постоянным½=

= . #

4. Изменить порядок интегрирования в интеграле .

Ñ , и правильная в направлении Ox область D ограничена линиями x=y, x=2 — y, y=0, y=1 (линия y =1 выродилась в точку) (рис. 7). Эта область является правильной и в направлении Oy. Так как участок OAB границы состоит из отрезков прямых и , то, где ,

. Итак, = = =.#

5. Вычислить по области D, ограниченной линиями и .

Ñ Изобразим область D. Для отыскания точек пересечения парабол и решаем уравнение , откуда имеем действительные корни , . Таким образом, параболы пересекаются в точках . Рассматривая D как правильную в направлении Oy (рис. 8а), имеем . По формуле

а)

=

Если область D рассматривать как правильную в направлении Ox (рис. 8б), то . По формуле

= =. #

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой