Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Атомная энергетика. Ядерные реакторы АЭС. Атомный флот. Ядерное оружие
Атомные станции	Реактор БН-800	ВВЭР-1000	РБМК-1000
Ледоколы	Подлодки	Флот	Гражданский суда
Ядерное оружие	Ядерная физика	Плавучие АЭС	Авиация

Высшая математика
1 семестр	2 семестр	3 семестр	Задачи
Интеграл	Курсовая	Контрольная	Практикум
Алгебра	Матанализ	Геометрия	Карта сайта

3. Найдём производную функции $f(x)=\sqrt{x}$ в точке . Преобразуем приращение функции следующим образом:
$\displaystyle {\Delta}f=\sqrt{x+h}-\sqrt{x}= \dfrac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqr… …{x}}= \dfrac{(x+h)-x}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}= \dfrac{h}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}.$
Поэтому
$\displaystyle (\sqrt{x})'=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}= \lim_{h\to0}\dfrac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}= \dfrac{1}{2\sqrt{x}},$
поскольку $\lim\limits_{h\to0}\sqrt{x+h}=\sqrt{x}$ вследствие непрерывности элементарной функции $f(x)=\sqrt{x}$ в любой точке . Получили в итоге формулу $(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ , то есть формулу (4.12) при $n=\frac{1}{2}$ .
4. Пусть $f(x)=\dfrac{1}{x^m}$ , где $m\in\mathbb{N}$ . Производную этой функции можно подсчитать по формуле производной частного (формула (4.10)):

$\displaystyle \left(\dfrac{1}{x^m}\right)'=\dfrac{1'x^m-1\cdot(x^m)'}{(x^m)^2}= \dfrac{-mx^{m-1}}{(x^m)^2}=-\dfrac{m}{x^{m+1}},$
то есть $(x^{-m})'=(-m)x^{(-m)-1}$ . Эта формула совпадает с формулой (4.12) при отрицательных целых .
В частности, получаем при
$\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}$
и при
$\displaystyle \left(\dfrac{1}{x^2}\right)'=-\dfrac{2}{x^3}.$
5. Пусть $f(x)=\sin x$ . Тогда приращение функции равно
$\displaystyle {\Delta}f=\sin(x+h)-\sin x= 2\cos\dfrac{(x+h)+x}{2}\sin\dfrac{(x+h)-x}{2}= 2\cos(x+\frac{h}{2})\sin\frac{h}{2},$
а производная --
$\displaystyle (\sin x)'=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}= \lim_{h\to0}\cos(x+\… …h}{2}) \lim_{h\to0}\dfrac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}= \cos x\cdot1=\cos x.$
При этом мы воспользовались тем, что $\lim\limits_{h\to0}\cos(x+\frac{h}{2})=\cos x$ , так как $\cos x$ -- непрерывная функция, и тем, что $\lim\limits_{h\to0}\dfrac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=1$ (это первый замечательный предел).