Пример
4.3 Найдём производную
функции
При 
вычислим производную как производную произведения:
вычислим производную как производную произведения: 
При 
производную вычислим по формуле, служащей определением производной:
производную вычислим по формуле, служащей определением производной: 
поскольку
получили предел произведения бесконечно малой величины 
и ограниченной величины 
.
Итак, 
,
однако это значение не является пределом 
при 
,
то есть производная
имеет при
разрыв второго рода. Действительно, в выражении для
при
первое слагаемое 
стремится к 0 при ,
однако второе слагаемое 
не стремится ни к какому пределу при ,
совершая вблизи 0 бесконечно много колебаний.
и ограниченной величины .
Итак, ,
однако это значение не является пределом
при ,
то есть производная
имеет при
разрыв второго рода. Действительно, в выражении для
при
первое слагаемое
стремится к 0 при ,
однако второе слагаемое
не стремится ни к какому пределу при ,
совершая вблизи 0 бесконечно много колебаний.
Рис.4.5.Графики
функции 
и её производной
и её производной Этот пример показывает, что производная, даже если она всюду существует, не обязана быть непрерывной функцией.
Пример
2. Вычислить двойной интеграл 
, где область D ограничена линиями: 
(рис. 2).
Рис. 2.
Решение. В силу теоремы 1 
=
.
Заметим, что если кривая 
(или
) на промежутке [a,b] задается различными аналитическими
выражениями, например,
,
то интеграл справа в (3) записывается в виде суммы двух интегралов
. (4)
