Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Атомная энергетика. Ядерные реакторы АЭС. Атомный флот. Ядерное оружие
Атомные станции	Реактор БН-800	ВВЭР-1000	РБМК-1000
Ледоколы	Подлодки	Флот	Гражданский суда
Ядерное оружие	Ядерная физика	Плавучие АЭС	Авиация

Высшая математика
1 семестр	2 семестр	3 семестр	Задачи
Интеграл	Курсовая	Контрольная	Практикум
Алгебра	Матанализ	Геометрия	Карта сайта

Рассмотрим пример на нахождение координат вектора.

Задача. Даны векторы ${\overrightarrow {OA}={\bf a}}$ , ${\overrightarrow {OB}={\bf b}}$ . Вектор ${\overrightarrow {OC}={\bf c}}$ -- медиана треугольника . Найдите координаты вектора a в базисе b, c.

Решение. Сначала рассмотрим геометрическое решение (рис. 10.13).

Рис.10.13.Геометрическое разложение вектора

Проведем через конец вектора a прямую параллельно вектору b до пересечения с продолжением вектора c. Получим точку пересечения . Легко видеть, что ${\overrightarrow {OD}=2{\bf c}}$ , ${\overrightarrow {AD}={\bf b}}$ . Проведем через точку прямую параллельно вектору c до пересечения с продолжением вектора b. Получим точку . Очевидно, что ${\vert OF\vert=\vert AD\vert}$ , то есть ${\overrightarrow {OF}=-{\bf b}}$ . Таким образом, ${\bf a}=\overrightarrow {OD}+\overrightarrow {OF}=2{\bf c}+(-{\bf b})=(-1){\bf b}+2{\bf c}$ . Получим ${{\bf a}=(-1;2)}$ .

Аналитическое решение. Получим какое-нибудь уравнение, связывающее векторы a, b, c. Для этого достроим треугольник до параллелограмма (рис. 10.14).

Рис.10.14.

Тогда $\overrightarrow {OD}=2{\bf c}$ , $\overrightarrow {OD}={\bf a}+{\bf b}$ . Получим равенство ${2{\bf c}={\bf a}+{\bf b}}$ . Откуда ${{\bf a}=-{\bf b}+2{\bf c}}$ , то есть ${{\bf a}=(-1;2)}$ .
Ответ: ${\bf a}=(-1;2)$

Теорема 2 (о замене переменных в двойном интеграле).

Пусть выполняются условия:
1) функции x=x(u,v) и y=y(u,v) таковы, что каждой точке с координатами (x, y) из области D соответствует единственная точка с координатами (u, v) из области D1 и наоборот;
2) функции x=x(u,v) и y=y(u,v) имеют непрерывные частные производные по переменным u и v в области D1;
3) функция z=f(x,y) определена и интегрируема в области D.
Тогда справедлива формула:
, (6)
где

- якобиан перехода от декартовых координат к криволинейным координатам.
Частным случаем криволинейных координат для двойного интеграла являются полярные координаты:
,
для которых якобиан равен и формула (6) примет вид:
(7)