Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Атомная энергетика. Ядерные реакторы АЭС. Атомный флот. Ядерное оружие
Атомные станции
Реактор БН-800
ВВЭР-1000
 РБМК-1000
Ледоколы
Подлодки
Флот
 Гражданский суда
Ядерное оружие
Ядерная физика
Плавучие АЭС
 Авиация

Высшая математика

1 семестр
2 семестр
3 семестр
 Задачи
Интеграл
Курсовая
Контрольная
 Практикум
Алгебра
Матанализ
Геометрия
 Карта сайта

 

 


Применим полученную формулу производной обратной функции (точнее, формулу (4.15)) для нахождения производных некоторых элементарных функций.

        Пример 4.8   Найдём производную функции $ {f(x){=}\arcsin x}$. Обратной к этой функции служит главная ветвь функции $ {{\varphi}(y)=\sin y}$ ( $ {-\frac{\pi}{2}\leqslant y\leqslant \frac{\pi}{2}}$), производная которой равна $ {{\varphi}'(y)=\cos y}$. Заметим, что при указанных значениях $ y$ выполнено неравенство $ {\cos y\geqslant 0}$, откуда $ {\cos y=\sqrt{1-\sin^2y}}$ (корень берём со знаком $ +$). Поэтому по формуле (4.15):     $ f'(x)=\dfrac{1}{\cos(\arcsin x)}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin x)}}= \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$     
        Пример 4.9   Аналогично отыщем производную функции $ f(x)=\arccos x$. Обратной к $ f(x)$ служит главная ветвь функции $ {\varphi}(y)=\cos y$ ( $ 0\leqslant y\leqslant \pi$), производная которой равна $ {\varphi}'(y)=-\sin y$. Заметим, что при $ 0\leqslant y\leqslant \pi$ выполнено неравенство $ \sin y\geqslant 0$, откуда $ \sin y=\sqrt{1-\cos^2y}$ (корень со знаком $ +$). Поэтому по формуле (4.15)
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{-\sin(\arccos x)}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-\cos^2(\arccos x)}}= -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$
Заметим однако, что тот же результат можно было бы гораздо легче получить, используя тригонометрическую формулу $ \arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}$, откуда $ \arccos x=\dfrac{\pi}{2}-\arcsin x$ и $ (\arccos x)'=-(\arcsin x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$     
        Пример 4.10   Найдём производную функции $ f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$. Обратной к этой функции служит главная ветвь функции $ {\varphi}(y)=\mathop{\rm tg}\nolimits y$ ( $ -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$), производная которой равна $ {\varphi}'(y)=\dfrac{1}{\cos^2y}=1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2y$. Поэтому по формуле (4.15)
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2(\mathop{\rm arctg}\nolimits x)}=\dfrac{1}{1+x^2}.$
    
        Пример 4.11   Найдём производную функции $ f(x)=\mathop{\rm arcctg}\nolimits x$. Обратной к этой функции служит главная ветвь функции $ {\varphi}(y)=\mathop{\rm ctg}\nolimits y$ ($ 0<y<\pi$), производная которой равна $ {\varphi}'(y)=-\dfrac{1}{\sin^2y}=-1-\mathop{\rm ctg}\nolimits ^2y$. Поэтому по формуле (4.15)
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{-1-\mathop{\rm ctg}\nolimits ^2(\mathop{\rm arcctg}\nolimits x)}=-\dfrac{1}{1+x^2}.$

Конечно, ту же формулу можно было получить из соотношения $ {\mathop{\rm arctg}\nolimits x+\mathop{\rm arcctg}\nolimits x=\dfrac{\pi}{2}}$, откуда $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits x=\dfrac{\pi}{2}-\mathop{\rm arctg}\nolimits x$ и $ (\mathop{\rm arcctg}\nolimits x)'=-(\mathop{\rm arctg}\nolimits x)'=-\dfrac{1}{1+x^2}.$    

        Пример 4.12   Найдём производную функции $ f(x)=a^x$ ($ a>0,\ a\ne1$). Обратной к ней служит функция $ {\varphi}(y)=\log_ay$, производная которой такова: $ {\varphi}'(y)=\dfrac{1}{y\ln a}$. Поэтому формула (4.15) даёт
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{\dfrac{1}{a^x\ln a}}=a^x\ln a.$
В частности, при $ a=e$ получаем
$\displaystyle (e^x)'=e^x.$
    

Выведем теперь формулы для производных гиперболических функций.

        Пример 4.13   Пусть $ y=\mathop{\rm sh}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$. Заметим, что
$\displaystyle (e^{-x})'=e^{-x}(-x)'=e^{-x}(-1)=-e^{-x}$
по формуле производной композиции (с промежуточным аргументом $ u=-x$). Тогда
$\displaystyle y'=(\mathop{\rm sh}\nolimits x)'=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})'= \frac{1}{2}(e^x-(-e^{-x}))= \frac{1}{2}(e^x+e^{-x}))=\mathop{\rm ch}\nolimits x.$
    

7271f726
На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой