Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Атомная энергетика. Ядерные реакторы АЭС. Атомный флот. Ядерное оружие
Атомные станции	Реактор БН-800	ВВЭР-1000	РБМК-1000
Ледоколы	Подлодки	Флот	Гражданский суда
Ядерное оружие	Ядерная физика	Плавучие АЭС	Авиация

Высшая математика
1 семестр	2 семестр	3 семестр	Задачи
Интеграл	Курсовая	Контрольная	Практикум
Алгебра	Матанализ	Геометрия	Карта сайта

     Предложение 14.6 При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть ${\vert A^\top\vert=\vert A\vert}$ .
Предложение 14.7 Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть ${\vert AB\vert=\vert A\vert\vert B\vert}$ .
Предложение 14.8 Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.
Ввиду ограниченности курса доказательства этих трех свойств мы опускаем. Читатель может найти их в учебниках по линейной алгебре [3], [5] или же может без особых сложностей проверить их на матрицах второго и третьего порядков.
        Предложение 14.9 Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.
        Доказательство.     Поменяем местами две одинаковые строки. В силу предложения 14.8 определитель сменит знак. С другой стороны, так как строки были одинаковыми, то матрица не изменилась и, следовательно, не изменился и ее определитель. Получим, что ${\vert A\vert=-\vert A\vert}$ , откуда следует, что ${\vert A\vert=0}$ .

В дальнейшем нам потребуется складывать строки и умножать строку на число. Эти действия над строками (столбцами) мы будем выполнять так же, как действия над матрицами-строками (матрицами-столбцами), то есть поэлементно. Результатом будет служить строка (столбец), как правило, не совпадающая со строками исходной матрицы. При наличии операций сложения строк (столбцов) и умножения их на число мы можем говорить и о линейных комбинациях строк (столбцов), то есть суммах с числовыми коэффициентами.
        Предложение 14.10 Если строку матрицы умножить на число ${\alpha}$ , то ее определитель умножится на это число.
        Доказательство.     Пусть -- исходная матрица, -- матрица, полученная из умножением первой строки на число ${\alpha}$ :
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}… …n}\\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{array}\right).$
Тогда
$\displaystyle \vert B\vert=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}{\alpha}a_{1k}M_k,$
где -- определитель матрицы, полученной из матрицы или, что то же самое, из матрицы вычеркиванием первой строки и -ого столбца.
Вынесем множитель ${\alpha}$ за знак суммы и получим

$\displaystyle \vert B\vert={\alpha}\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}a_{1k}M_k={\alpha}\vert A\vert.$
Пусть теперь матрица получается из матрицы умножением -ой строки на число ${\alpha}$ . Поменяем местами первую и -ую строки в матрице и то же самое проделаем в матрице . Получим две новых матрицы и . По предложению 14.8

$\displaystyle \vert A\vert=-\vert A_1\vert,\quad \vert B\vert=-\vert B_1\vert.$ (14.10)

Очевидно, что матрица получается из матрицы умножением первой строки на число ${\alpha}$ . Как только что было доказано, ${\vert B_1\vert={\alpha}\vert A_1\vert}$ . Таким образом, из второго равенства (14.10) находим ${\vert B\vert=-{\alpha}\vert A_1\vert}$ , отсюда с помощью первого равенства (14.10) получаем ${\vert B\vert={\alpha}\vert A\vert}$ .