Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Атомная энергетика. Ядерные реакторы АЭС. Атомный флот. Ядерное оружие
Атомные станции	Реактор БН-800	ВВЭР-1000	РБМК-1000
Ледоколы	Подлодки	Флот	Гражданский суда
Ядерное оружие	Ядерная физика	Плавучие АЭС	Авиация

Высшая математика
1 семестр	2 семестр	3 семестр	Задачи
Интеграл	Курсовая	Контрольная	Практикум
Алгебра	Матанализ	Геометрия	Карта сайта

   Пример 14.4 Пусть ${A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&3\\ -1&0&-2\\ -4&-3&5\end{array}\right)}$ . Тогда
$\displaystyle A_{12}=(-1)^{1+2}\left\vert\begin{array}{rr}-1&-2\\ -4&5\end{array}\right\vert=13,$

$\displaystyle A_{33}=(-1)^{3+3}\left\vert\begin{array}{rr}1&2\\ -1&0\end{array}\right\vert=2.$

Замечание 14.10 Используя алгебраические дополнения, определение 14.6 определителя можно записать так:

$\displaystyle \vert A\vert=\sum_{k=1}^n a_{1k}A_{1k}.$ Найдем

Предложение 14.16 Разложение определителя по произвольной строке. Для определителя матрицы справедлива формула

$\displaystyle \vert A\vert=\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik}.$
        Доказательство.     Если , положим . Пусть ${i\ne1}$ . Тогда -ую строку поменяем местами со строкой с номером . Определитель сменит знак. Затем строку с номером поменяем местами со строкой с номером . Определитель снова сменит знак. Процесс перестановки строк будем продолжать до тех пор, пока -ая строка матрицы не станет первой строкой новой матрицы, которую мы обозначим . Отметим, что в матрице , начиная со второй строки, стоят строки матрицы , причем порядок их следования не изменился.

При переходе от матрицы к матрице определитель сменит знак раз (проверьте для случая ). Таким образом

$\displaystyle \vert A\vert=(-1)^{i-1}\vert B\vert.$ (14.11)

Это соотношение верно и при . По определению 14.6 определителя,
$\displaystyle \vert B\vert=\sum_{k=1}^nb_{1k}(-1)^{k+1}N_k,$

где -- определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием первой строки и -ого столбца. Первая строка матрицы совпадает с -ой строкой матрицы , поэтому ${b_{1k}=a_{ik}}$ . Результат вычеркивания в матрице первой строки и -ого столбца будет таким же, как при вычеркивании в матрице -ой строки и -ого столбца. Поэтому ${N_k=M_{ik}}$ , где $M_{ik}$ -- определитель матрицы, полученной при вычеркивании в матрице -ой строки и -ого столбца. Следовательно,
$\displaystyle \vert B\vert=\sum_{k=1}^n a_{ik}(-1)^{k+1}M_{ik}.$

В силу равенства (14.11) получим
$\displaystyle \vert A\vert=(-1)^{i-1}\sum_{k=1}^n a_{ik}(-1)^{k+1}M_{ik}=\sum_{k=1}^n a_{ik} (-1)^{i+k}M_{ik}.$
По определению 14.7 алгебраического дополнения получим ${(-1)^{i+k} M_{ik}=A_{ik}}$ . Тогда из предыдущего равенства вытекает
$\displaystyle \vert A\vert=\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik},$
что и требовалось доказать.