Линейная зависимость векторов Векторная алгебра Определения

Введем еще одно очень важное понятие, которое используется не только в алгебре, но и во многих других разделах математики.

Определение 10.14 Система векторов ${\bf a}_1,{\bf a}_2,\dots,{\bf a}_k$ называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов ${\alpha}_1,{\alpha}_2,\dots,{\alpha}_k$ , из которых хотя бы один отличен от нуля, что ${\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2+\ldots+{\alpha}_k{\bf a}_k =0$ .

Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой. Но последнее определение лучше сформулировать по другому.

Определение 10.15 Система векторов ${\bf a}_1,{\bf a}_2,\dots,{\bf a}_k$ называется линейно независимой, если равенство ${\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2+\ldots+{\alpha}_k{\bf a}_k =0$ возможно только при ${\alpha}_1={\alpha}_2=\ldots={\alpha}_k=0$ .

Предложение 10.6 Система векторов ${\bf a}_1,{\bf a}_2,\dots,{\bf a}_k$ линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

Доказательство. Пусть система векторов линейно зависима. Тогда существует такой набор коэффициентов ${\alpha}_1,{\alpha}_2,\dots,{\alpha}_k$ , что ${\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2+\ldots+{\alpha}_k{\bf a}_k =0$ , причем хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Предположим, что ${\alpha}_1\ne0$ . Тогда

$\displaystyle {\bf a}_1=\left(-\frac{{\alpha}_2}{{\alpha}_1}\right){\bf a}_2+\l… …\right){\bf a}_3+\ldots+\left(-\frac{{\alpha}_k}{{\alpha}_1}\right){\bf a}_k\,,$

то есть ${\bf a}_1$ является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Пусть один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов. Предположим, что это вектор ${\bf a}_1$ , то есть ${{\bf a}_1=\nu_2{\bf a}_2+\ldots+\nu_k{\bf a}_k}$ . Очевидно, что ${-{\bf a}_1+\nu_2{\bf a}_2+ \ldots+\nu_k{\bf a}_k=0}$ . Получили, что линейная комбинация векторов системы равна нулю, причем один из коэффициентов отличен от нуля (равен

Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линией, задаваемой уравнением:

Решение. Площадь области S будет равна

, где область D ограничена линией:

. Отметим, что при замене переменной x (y) на — x (-y) уравнение линии не меняется, следовательно, область D будет симметричной относительно координатных осей.

Подставив x,y в уравнение линии, получаем, что

или

. Таким образом,

, тогда

. Искомая область D представлена на рисунке 7.

Атомная энергетика. Ядерные реакторы АЭС. Атомный флот. Ядерное оружие
Атомные станции	Реактор БН-800	ВВЭР-1000	РБМК-1000
Ледоколы	Подлодки	Флот	Гражданский суда
Ядерное оружие	Ядерная физика	Плавучие АЭС	Авиация

Высшая математика
1 семестр	2 семестр	3 семестр	Задачи
Интеграл	Курсовая	Контрольная	Практикум
Алгебра	Матанализ	Геометрия	Карта сайта

Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Атомная энергетика. Ядерные реакторы АЭС. Атомный флот. Ядерное оружие

Высшая математика