Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Атомная энергетика. Ядерные реакторы АЭС. Атомный флот. Ядерное оружие
Атомные станции	Реактор БН-800	ВВЭР-1000	РБМК-1000
Ледоколы	Подлодки	Флот	Гражданский суда
Ядерное оружие	Ядерная физика	Плавучие АЭС	Авиация

Высшая математика
1 семестр	2 семестр	3 семестр	Задачи
Интеграл	Курсовая	Контрольная	Практикум
Алгебра	Матанализ	Геометрия	Карта сайта

Однородная система уравнений
Предложение 15.2 Однородная система уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=0,\\ … …\ldots\ldots\ldots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=0\end{array}\right.$

(15.7)

всегда является совместной.
        Доказательство.    Для этой системы набор чисел ${x_1=0}$ , ${x_2=0}$ , $\dots$ , ${x_n=0}$ является решением.

В этом разделе мы будем использовать матричную запись системы: . Найдем
        Предложение 15.3 Сумма решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы. Решение, умноженное на число, тоже является решением.
        Доказательство.     Пусть и служат решениями системы . Тогда и . Пусть . Тогда
$\displaystyle Ag=A(c+d)=Ac+Ad=0+0=0.$

Так как , то -- решение.
Пусть ${\alpha}$ -- произвольное число, ${h={\alpha}c}$ . Тогда
$\displaystyle Ah=A({\alpha}c)={\alpha}(Ac)={\alpha}\cdot 0=0.$
Так как , то -- решение.
        Следствие 15.1 Если однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много различных решений.
Действительно, умножая ненулевое решение на различные числа, будем получать различные решения.

        Определение 15.5 Будем говорить, что решения ${x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$ системы образуют фундаментальную систему решений, если столбцы ${x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$ образуют линейно независимую систему и любое решение системы является линейной комбинацией этих столбцов.
        Определение 15.6 Пусть ${x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$ -- фундаментальная система решений однородной системы . Тогда выражение
$\displaystyle x=C_1x^{(1)}+C_2x^{(2)}+\ldots+C_kx^{(k)},$
где ${C_1,C_2,\dots,C_k}$ -- произвольные числа, будем называть общим решением системы .
Из определения фундаментальной системы решений следует, что любое решение однородной системы может быть получено из общего решения при некоторых значениях ${C_1,C_2,\dots,C_k}$ . И наоборот, при любых фиксированных числовых значениях ${C_1,C_2,\dots,C_k}$ из общего решения получим решение однородной системы.
Как находить фундаментальную систему решений мы увидим позже, в разделе "Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)".
        Теорема 15.3 Пусть ${x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$ -- фундаментальная система решений однородной системы . Тогда ${{\rm Rg}A+k=n}$ , где -- число неизвестных в системе.
Доказательство читатель может найти, например, в [1].