На основе теоремы Коши мы выведем правило, которое даст нам мощный способ вычисления пределов отношений двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин. Сформулируем его сначала для отношения бесконечно малых.
Теорема
5.5 (Правило Лопиталя)
Пусть функции 
и 
непрерывны в некоторой окрестности 
точки 
и 
,
то есть 
и 
при 
.
Предположим, что при 
функции
и
имеют производные 
и 
,
причём существует предел отношения этих производных:
и
непрерывны в некоторой окрестности
точки
и ,
то есть
и
при .
Предположим, что при
функции
и
имеют производные
и ,
причём существует предел отношения этих производных: 
Тогда предел отношения
самих функций
и
тоже существует и равен тому же числу 
:
и
тоже существует и равен тому же числу :
Доказательство.
Заметим, что из условия 
следует, что оба односторонних предела также равны :
и 
Пусть 
,
.
По теореме Коши, применённой к отрезку ![$ [x_0;x_1]$](/matem/dif/ris/img2239.png){kind=small}
,
получим тогда, с учётом того, что 
,
так как, очевидно, при 
имеем также 
.
Теперь возьмём точку 
,
и применим теорему Коши к отрезку ![$ [x_2;x_0]$](/matem/dif/ris/img3086.png){kind=small}
.
Получим
где 
.
Переходя к пределу при 
, получаем
так как при
имеем 
.
Итак, оба односторонних предела отношения 
равны .
На основании теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним получаем, что
