Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса) Примеры

Пример 15.3 Найдите общее решение системы уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+2x_3-x_4=3,\\ 2x_1-x_2+3x_3+4x_4=-1,\\ 4x_1+x_2+7x_3+2x_4=6,\\ 5x_1-x_2+3x_3+2x_4=-3.\end{array}\right.$

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrrr} 1&1&2&-1&3\\ 2&-1&3&4&-1\\ 4&1&7&2&6\\ 5&-1&3&2&-3\end{array}\right).$

Ко второй строке прибавим первую, умноженную на

, к третьей строке прибавим первую, умноженную на

, к четвертой строке прибавим первую, умноженную на

$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrrr} 1&1&2&-1&3\\ 0&-3&-1&6&-7\\ 0&-3&-1&6&-6\\ 0&-6&-7&7&-18\end{array}\right).$

Вторую строку, умноженную на

, прибавим к третьей:

$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrrr} 1&1&2&-1&3\\ 0&-3&-1&6&-7\\ 0&0&0&0&1\\ 0&-6&-7&7&-18\end{array}\right).$

В третьей строке все элементы $a_{3j}^{(2)}$ равны нулю, а элемент ${b_3^{(2)}\ne0}$ . Значит, система несовместна.

Ответ: Система несовместна.

Пример 15.4 Решите систему

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2x_1-x_2+3x_3-x_4=1,\\ 3x_1+2x_2-x_3+x_4=2,\\ 2x_1+x_2+2x_3-3x_4=1,\\ 4x_1-2x_2-x_3-3x_4=2.\end{array}\right.$

Решение. Имеем:

$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrrr} 2&-1&3&-1&1\\ 3&2&-1&1&2\\ 2&1&2&-3&1\\ 4&-2&-1&-3&2\end{array}\right).$

Первую строку, умноженную на числа $\left(-\frac32\right)$ ,

, прибавим соответственно ко второй, третьей и четвертой строкам:

$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrrr} 2&-1&3&-1&1\\ 0&\vphantom{\dfrac… …&-\frac{11}2& \frac52&\frac12\\ 0&2&-1&-2&0\\ 0&0&-7&-1&0\end{array}\right).$

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на $\left(-\frac47\right)$ . Получим

$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrrr} 2&-1&3&-1&1\\ 0&\vphantom{\dfrac… …tom{\dfrac11}\frac{15}7&-\frac{24}7&-\frac27\\ 0&0&-7&-1&0\end{array}\right).$

К четвертой строке прибавим третью, умноженную на $\frac{49}{15}$ :

$\displaystyle A^*_3=\left(\begin{array}{rrrrr} 2&-1&3&-1&1\\ 0&\vphantom{\dfrac… …ac27\\ 0&0&0&\vphantom{\dfrac11}-\frac{61}5&-\frac{14}{15}\end{array}\right).$

Выписываем по матрице

систему уравнений:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\,\,=\,}r}2x_1-x_2+3x_3-x_4&1,\\ \vphan… …frac27,\\ \vphantom{\dfrac11}-\frac{61}5x_4&-\frac{14}{15}.\end{array}\right.$

Находим последовательно значения неизвестных:

$\displaystyle x_4=\frac{14}{183},\quad x_3=\left(-\frac27+\frac{24}7x_4\right):… … =\left(-\frac27+\frac{24}7\cdot\frac{14}{183}\right):\frac{15}7=-\frac2{183},$

$\displaystyle x_2=\left(\frac12+\frac{11}2x_3-\frac52x_4\right):\frac72= \left… …1}2\cdot\frac2{183}-\frac52\cdot\frac{14}{183} \right):\frac72=\frac{13}{183},$

$\displaystyle x_1=(1+x_2-3x_3+x_4):2=\left(1+\frac{13}{183}+\frac6{183}+\frac{14}{183} \right):2=\frac{108}{183}.$

Ответ: $x_1=\frac{108}{183},\quad x_2=\frac{13}{183},\quad x_3=-\frac2{183},\quad x_4=\frac{14}{183}$ .

Замечание 15.6 Так же, как и при решении системы уравнений по правилу Крамера, при использовании метода Гаусса приходится выполнять большой объем вычислительной работы. Из-за этого вполне возможно, что будет допущена какая-либо ошибка в вычислениях. Поэтому желательно после решения системы выполнить проверку, то есть подставить полученные значения неизвестных в уравнения системы. Для выполнения полной проверки подстановку нужно произвести во все уравнения системы. Если же по каким-то причинам это не выполнимо, то можно подставить найденные значения в одно уравнение. В отличие от правила Крамера в методе Гаусса эту подстановку нужно производить в ПОСЛЕДНЕЕ уравнение исходной системы. При наличии в этом уравнении всех неизвестных эта подстановка почти всегда покажет наличие ошибки, если таковая была допущена.

Атомная энергетика. Ядерные реакторы АЭС. Атомный флот. Ядерное оружие
Атомные станции	Реактор БН-800	ВВЭР-1000	РБМК-1000
Ледоколы	Подлодки	Флот	Гражданский суда
Ядерное оружие	Ядерная физика	Плавучие АЭС	Авиация

Высшая математика
1 семестр	2 семестр	3 семестр	Задачи
Интеграл	Курсовая	Контрольная	Практикум
Алгебра	Матанализ	Геометрия	Карта сайта

Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Атомная энергетика. Ядерные реакторы АЭС. Атомный флот. Ядерное оружие

Высшая математика