Термин
"кольцо с единицей" означает, что в кольце существет такой элемент 
, что для любого элемента 
выполнено 
и 
. Можно доказать, что элемент
, если он существует, определяется однозначно. Обратным элементом к элементу
называется такой элемент 
, что 
. Можно доказать, что при этом 
, и что элемент
определяется однозначно. Обратный элемент к элементу
обозначается 
.
Примерами полей служат множество рациональных чисел и множество
вещественных чисел. Последнее обычно обозначается 
. Можно доказать, что кольцо 
также будет полем, если 
-- простое число. Например, при 
обратные элементы определяются так:
Еще один пример поля получим, если рассмотрим множество несократимых
дробей вида 
, где 
и 
-- многочлены, причем коэффициент при старшей степени 
в многочлене
равен единице. Сложение и умножение производится по обычным правилам сложения
и умножения дробей, только в результате обязательно производится сокращение на
общий множитель, если таковой имеется. Заметим, что многочлен
может иметь нулевую степень, то есть являться обычным числом, многочлен
тоже может быть числом, но в этом случае он обязательно равен 1.
Такое поле носит название поля дробно-рациональных функций.
В следующей главе мы рассмотрим еще один, очень важный, пример поля, а именно, поле комплексных чисел.
Задача 2 (МАИ). Найдите периметр треугольника наибольшей площади, образованного большим основанием и продолжением боковых сторон трапеции, если известно, что длина верхнего основания трапеции в два раза меньше длины ее нижнего основания, а диагонали равны 5 и 6.
Решение.
Пусть ВС
и AD —основания трапеции (рис. 2), ВС = 
AD. Выходит, что ВС — средняя линия
треугольника AED. Тогда 
Следовательно, площадь треугольника AED достигает
максимального значения при максимальной площади трапеции ABCD. Очевидно, 
, т. е. площадь данной трапеции максимальна,
если ее диагонали перпендикулярны. Итак, искомый периметр — это периметр треугольника
с перпендикулярными медианами:
Ответ: 
