Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

        Пример 7.39   Построим график функции .

1). Функция  -- многочлен, а у всех многочленов область определения -- вся вещественная ось: .

2). Многочлены бывают чётными функциями, если содержат только чётные степени переменного , и нечётными функциями, если содержат только нечётные степени . Для функции это не так, значит, не является ни чётной, ни нечётной функцией.

Периодическими из всех многочленов бывают только постоянные, то есть не зависящие от ; в нашем случае это не так, поэтому  -- не периодическая функция. Разложить данную функциюМатематика решение задач в ряд Фурье Вычислим значения

3). Вертикальных асимптот график не имеет, поскольку область определения не имеет граничных точек. (У графиков многочленов вообще не бывает вертикальных асимптот.)

4). Поскольку многочлен имеет степень 3 (а не 1 или 0), то его график не имеет наклонных или горизонтальных асимптот.

5). Пересечение с осью найдём, вычислив значение при : имеем . Для нахождения пересечений графика с осью следует решить уравнение . Целых корней это уравнение не имеет. Вычисляя значения в некоторых целых точках, например,

мы начинаем подозревать, что уравнение имеет только один корень , лежащий на интервале , причём ближе к точке , чем к 0. (Действительно, если применить какой-либо из методов приближённого нахождения корней алгебраического уравнения, мы получим, что . Эти методы мы изучим ниже, в главе 9. А пока нам достаточно того, что .) Заметим, что меняет знак с на при переходе через точку .

 

6). Производная данной функции равна . Найдём интервалы возрастания функции, решая неравенство . Корни квадратного трёхчлена -- это , значит, решением неравенства служит объединение интервалов и . На каждом из этих интервалов функция возрастает. Интервалы убывания задаются обратным неравенством , то есть . Его решением служит интервал . На этом интервале функция убывает.

В точке возрастание функции сменяется убыванием, значит,  -- точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно

В точке убывание функции сменяется возрастанием, значит,  -- точка локального минимума. Значение функции в этой точке равно

Как мы видим, на участке убывания значения функции изменяются от до и остаются положительными. Это доказывает, что сама функция действительно имеет только один корень.

7). Вторая производная функции равна . Для отыскания интервала выпуклости решим неравенство , то есть , откуда . Значит, функция выпукла на интервале . Обратное неравенство даёт нам интервал вогнутости; очевидно, это . В точке направление выпуклости меняется, следовательно,  -- это точка перегиба. Значение функции в этой точке равно .

8). С учётом предыдущих семи пунктов строим график функции .

Рис.7.46.График функции

     

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой