Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Атомная энергетика. Ядерные реакторы АЭС. Атомный флот. Ядерное оружие
Атомные станции	Реактор БН-800	ВВЭР-1000	РБМК-1000
Ледоколы	Подлодки	Флот	Гражданский суда
Ядерное оружие	Ядерная физика	Плавучие АЭС	Авиация

Высшая математика
1 семестр	2 семестр	3 семестр	Задачи
Интеграл	Курсовая	Контрольная	Практикум
Алгебра	Матанализ	Геометрия	Карта сайта

Пример 18.5 Пусть $a,\,b\in\mathbb{R}^4$ , их координатные столбцы ${{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ -1\\ -2 \end{array}\right)}$ , ${{\beta}=\left(\begin{array}{r}2\\ -2\\ -4\\ 1\end{array}\right)}$ . Проверьте, являются ли векторы ортогональными.
Решение. Находим скалярное произведение
$\displaystyle (a,b)=1\cdot2+2\cdot(-2)+(-1)(-4)+(-2)\cdot1=0.$
Следовательно, векторы ортогональны.
Так как базисные векторы ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ имеют координатные столбцы $\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ , $\left(\begin{array}{r}0\\ 1\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ , …, $\left(\begin{array}{r}0\\ 0\\ \vdots\\ 1\end{array}\right)$ , то несложно проверить, что в ортонормированном базисе ${\vert e_1\vert=\vert e_2\vert=\ldots=\vert e_n\vert=1}$ , а ${(e_i,e_j)=0}$ при ${i\ne j}$ , то есть векторы базиса попарно ортогональны. Проверить, является ли векторное поле
Если -- комплексное линейное -мерное пространство, то в нем тоже можно ввести скалярное произведение, задав его формулой
$\displaystyle (a,b)={\alpha}_1\ovl{{\beta}}_1+{\alpha}_2\ovl{{\beta}}_2+\ldots+{\alpha}_n\ovl{{\beta}}_n,$
где черта над ${{\beta}_1,\,{\beta}_2,\ldots,\,{\beta}_n}$ означает комплексное сопряжение.
Определение 18.7 Комплексное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется унитарным пространством.
В унитарном пространстве модуль вектора и условие ортогональности вводятся с помощью скалярного произведения так же, как в евклидовом пространстве. В координатной записи

$\displaystyle \vert a\vert=\sqrt{{\alpha}_1\ovl{{\alpha}}_1+{\alpha}_2\ovl{{\al… …t{\vert{\alpha}_1\vert^2+\vert{\alpha}_2\vert^2+\ldots+\vert{\alpha}_n\vert^2}.$

Пример 5. Перейдя к полярным координатам, вычислить интеграл: по области D, заданной ограничениями .
Решение. Положим
и применим формулу (7). Так как , то
.

Областью интегрирования исходного интеграла является четверть круга радиуса R=1 с центром в начале координат (рис. 6). Следовательно, в области D1 переменная изменяется от 0 до 1 и . Таким образом, имеем:
Рис. 6.
.