Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

        Определение 8.3   Радиусом кривизны кривой в точке называется число , где  -- кривизна линии в точке . Если кривизна в точке равна 0, то радиус кривизны формально полагаем равным .     

Заметим, что для окружности это определение даёт значение радиуса кривизны, совпадающее с радиусом окружности (постоянное во всех точках окружности).

Без доказательства сообщим, что из всех окружностей, касающихся линии в фиксированной точке , наиболее плотно прилегает к линии та окружность, которая имеет радиус, равный радиусу кривизны кривой в точке , и выпуклость в ту же сторону, что кривая . Эта окружность называется окружностью кривизны линии в точке .

Рис.8.6.Окружности, касающиеся линии , и окружность кривизны

        Пример 8.7   Радиус кривизны параболы в её вершине равен . Значит, окружность радиуса с центром в точке наилучшим образом приближает параболу в окрестности её вершины, то есть является для параболы окружностью кривизны в вершине параболы.     

Рис.8.7.Окружность кривизны для параболы в вершине

Пример 3. Вычислить двойной интеграл , где область D ограничена линиями:

Первое решение примера 3. Изобразим область D на плоскости (рис. 3).

Рис. 3.

Тогда и, если x меняется от 0 до 1, то , а если же если x меняется от 1 до 2, то и по формуле (4), имеем

или

.

Переменные x,y в двойном интеграле равноправны, то есть, если область D ограничена снизу и сверху горизонтальными прямыми y=c, y=d, а слева и справа - кривыми , причем непрерывны и на промежутке [c,d] (Рис.4), то

(5)

 

Рис. 4.

Такая область называется правильной в направлении оси Ox.

Второе решение примера 3 . В этот раз воспользуемся формулой (5), тогда

.

Рассмотрим ещё один пример применения формул (3) и (5) в зависимости от вида области D.