называется собственным вектором линейного преобразования
, соответствующим собственному числу 
, если 
.
конечномерного линейного пространства называется спектром
преобразования
. Вместо слов "собственное число" говорят также собственное значение, характеристическое число или характеристическое значение.
Если 
-- двумерное или трехмерное линейное пространство, то собственный вектор
линейного преобразования -- это такой вектор, что его образ коллинеарен самому
вектору. Иными словами, после применения преобразования (в вещественном случае)
может измениться длина вектора, а направление или сохранится, или изменится на
противоположное, или вектор станет равным нулю (в случае 
).
В примере 19.1 любой вектор является собственным вектором
линейного преобразования соответствующим собственному числу 2. В примере
19.2 при 
не кратном 
преобразование не имеет собственных векторов, так как после применения преобразования
длина каждого вектора не меняется и ни один вектор не сохраняет своего направления
и не меняет направление на противоположное.
-- двумерное векторное пространство, 
-- некоторая прямая, проходящая через начало координат,
-- преобразование, переводящее каждый вектор
в вектор 
, симметричный исходному относительно прямой
(рис. 19.5). Тогда из векторов рисунка 19.5 собственным вектором преобразования
будет вектор 
, он соответствует собственному числу 
, и вектор 
, который соответствует собственному числу 
. Читатель без труда поймет, что любой ненулевой вектор, лежащий на прямой
, будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 1, а любой ненулевой
вектор, лежащий на прямой перпендикулярной
и проходящей через начало координат, является собственным вектором, соответствующим
собственному числу 
.
-- собственный вектор линейного преобразования
, соответствующий собственному числу
и пусть 
-- ненулевое число. Тогда 
-- тоже собственный вектор линейного преобразования
, соответствующий собственному числу
. Доказательство.
