Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

  Пример 9.5   Снова рассмотрим уравнение . Пусть корень этого уравнения требуется вычислить с точностью . Начинаем решение методом половинного деления с отрезка , на котором отделён корень .

Последовательно находим значение функции в серединах получающихся отрезков:

после чего вычисления прекращаются на девятом шаге, так как очередной отрезок имеет длину При этом середина последнего отрезка -- это точка . Получаем, что приближённое значение корня с точностью до равно .     

Поскольку при каждом делении отрезка приходится ровно один раз вычислять значение функции (в том из концов нового отрезка, в котором это значение не было вычислено на предыдущих этапах), то в среднем придётся для нахождения корня с точностью вычислить значение функции раз. Число можно определить из неравенства , откуда

Это значение при малых много меньше того значения , которое мы получили, анализируя метод простого перебора.

Заметим, что метод деления отрезка пополам, как и метод простого перебора, не предъявляет никаких требований к гладкости функции (то есть к существованию её производной): достаточно, чтобы функция была непрерывной.

Далее мы рассмотрим более быстрые методы, в которых наличие производной будет играть существенную роль.

    

Задачи раздела ΙΙ

Задача 1. Даны вершины треугольника А(-3;-2), В(1;8), С(5;3).

Найти: а) уравнения всех трех его сторон;

б) систему неравенств, определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику, включая его стороны;

в) внутренний угол А треугольника в градусах и минусах;

г) длину высоты, опущенной из вершины А;

д) площадь треугольника.

 

Решение.

а) Уравнения сторон найдем по формуле прямой, проходящей через две данные точки

 

Уравнение стороны АВ: , или (АВ).

 

 

Уравнение стороны АС: или (АС)

 

б) Каждая из прямых, уравнения которых только это найдены, разделяет плоскость на две полуплоскости, определяемые соответствующими неравенствами.

Чтобы определить знаки этих неравенств, возьмем координаты какой-нибудь точки заведомо расположенной внутри треугольника АВС (см. рисунок 1). Такой точкой является, например точка N (0;1) подставляя координаты этой точки в уравнения граничных прямых (сторон) в силу того, что точка N не лежит ни на одной сторон, получим следующую систему неравенств. определяющих множество внутренних точек треугольника.

Рис. 1.

 

 

Система неравенств определяет множество точек, принадлежащих треугольнику АВС, включая его стороны.

 

в) Внутренний угол треугольника найдем, зная угловые коэффициенты сторон АВ и АС, образующих этот угол, по формуле .

Угловые коэффициенты прямых выложим по формуле .

Получим ; .

Тогда

. Угол определяем с помощью таблицы тангенсов или калькулятора