Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Атомная энергетика. Ядерные реакторы АЭС. Атомный флот. Ядерное оружие
Атомные станции
Реактор БН-800
ВВЭР-1000
 РБМК-1000
Ледоколы
Подлодки
Флот
 Гражданский суда
Ядерное оружие
Ядерная физика
Плавучие АЭС
 Авиация

Высшая математика

1 семестр
2 семестр
3 семестр
 Задачи
Интеграл
Курсовая
Контрольная
 Практикум
Алгебра
Матанализ
Геометрия
 Карта сайта

 

 

        Теорема 10.3   Если векторы в ортонормированном базисе заданы своими координатами $ {{\bf a}=({\alpha}_1, {\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , $ {{\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2,{\beta}_3})$ , то $\displaystyle {\bf a}{\bf b}={\alpha}_1{\beta}_1+{\alpha}_2{\beta}_2+{\alpha}_3{\beta}_3.$

        Доказательство.    По условию $ {\bf a}={\alpha}_1{\bf i}+{\alpha}_2{\bf j}+{\alpha}_3{\bf k}$ , $ {\bf b}={\beta}_1{\bf i}+{\beta}_2{\bf j}+ {\beta}_3{\bf k}$ . В силу свойств 1 - 3 ( теорема 10.2) скалярного произведения получим

 

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}={\bf a}({\beta}_1{\bf i}+{\beta}_2{\bf j}+{\beta}_3{\bf k})={\beta}_1{\bf a}{\bf i}+{\beta}_2{\bf a}{\bf j}+{\beta}_3{\bf a}{\bf k}.$(10.2)


 

Используя те же свойства, находим $ {\bf a}{\bf i}=({\alpha}_1{\bf i}+{\alpha}_2{\bf j}+{\alpha}_3{\bf k}){\bf i}= {\alpha}_1{\bf i}^2+{\alpha}_2{\bf j}{\bf i}+{\alpha}_3{\bf k}{\bf i}$ . В силу свойства 5, находим $ {{\bf i}^2=1}$ , а по свойству 8 получим $ {\bf j}{\bf i}={\bf k}{\bf i}=0$ . Таким образом, $ {{\bf a}{\bf i}={\alpha}_1}$ . Аналогично находим, что $ {\bf a}{\bf j}={\alpha}_2$ , $ {\bf a}{\bf k}={\alpha}_3$ . Подставив полученные результаты в формулу (10.2), получим требуемую формулу (10.1).    

Так как $ {\vert{\bf a}\vert^2={\bf a}^2}$ , то из  теоремы 10.3 вытекает, что если $ {{\bf a}=({\alpha}_1, {\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , то

 

$\displaystyle \vert{\bf a}\vert=\sqrt{{\alpha}_1^2+{\alpha}_2^2+{\alpha}_3^2}$(10.3)


 

Пусть в пространстве заданы точки $ A(x_1,y_1,z_1)$ и $ B(x_2,y_2,z_2)$ . Тогда $ {\overrightarrow {AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)}$ . Длина отрезка $ AB$ , то есть расстояние между точками $ A$ и $ B$ , будет равна $ \vert\overrightarrow {AB}\vert$ , и по формуле (10.3) получим

 

$\displaystyle AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.$(10.4)


 

Читатель без труда перенесет полученные результаты этого раздела на случай двумерного векторного пространства. Формулы (10.1), (10.3), (10.4) останутся справедливыми, только из них нужно исключить третью координату.

Разберем два примера на использование скалярного произведения.

Задача. Даны вершины треугольника: $ A(2;-1;3)$ , $ B(1;1;1)$ , $ C(0;0;5)$ . Найдите длину стороны $ AB$ и $ \angle ABC$ .

Решение. $ \overrightarrow {BA}=(1;-2;2)$ , $ \overrightarrow {BC}=(-1;-1;4)$ , $ AB=\vert\overrightarrow {AB}\vert= \sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=3$ .
$ \cos\angle ABC=\dfrac{\overrightarrow {BA}\cdot\overrightarrow {BC}}{\bigl\vert\overrightarrow {BA}\bigr\vert \cdot\bigl\vert\overrightarrow {BC}\bigr\vert}$ , $ \quad \overrightarrow {BA}\cdot\overrightarrow {BC}=1\cdot(-1)+(-2)(-1)+2\cdot 4=9$ ,
$ \vert\overrightarrow {BC}\vert=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18}=3\sqrt 2$ , $ \quad \cos\angle ABC=\frac 1{\sqrt 2}$ , $ \quad \angle ABC=45^{\circ}$ .

Ответ: $ AB=3$ , $ \quad \angle ABC=45^{\circ}$ .    

Задача. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах $ {\bf a}=2{\bf m}+{\bf n}$ и $ {\bf b}={\bf m}-2{\bf n}$ , где m и n -- единичные векторы, угол между которыми равен $ 60^{\circ}$ .

Решение. В этой задаче не заданы координаты векторов в ортонормированном базисе $ {\bf i},{\bf j},{\bf k}$ . Поэтому воспользоваться формулами  (10.1), (10.3) так просто не получится.

Сделав схематический рисунок (рис. 10.24),




Рис.10.24.


убеждаемся, что вектор $ {\bf d}_1$ , соответствующий одной диагонали параллелограмма, находится по формуле $ {{\bf d}_1={\bf a}+{\bf b}}$ , а другой -- $ {{\bf d}_2={\bf a}-{\bf b}}$ . Отсюда $ {{\bf d}_1=3{\bf m}-{\bf n}}$ и $ {{\bf d}_2={\bf m}+3{\bf n}}$ . В силу свойства 5 ( теорема 10.3) скалярного произведения получим

 

$\displaystyle \vert{\bf d}_1\vert^2= {\bf d}_1^2=(3{\bf m}-{\bf n})(3{\bf m}-{\bf n})=9{\bf m}^2-3{\bf m}{\bf n}-3{\bf m}{\bf n}+{\bf n}^2=$

 

 

$\displaystyle=9\vert{\bf m}\vert^2-6{\bf m}{\bf n}+ \vert{\bf n}\vert^2=9-6\cdot 1\cdot 1\cos 60^{\circ}+1=7.$

 

Аналогично, $ {\bf d}_2=({\bf m}+3{\bf n})({\bf m}+3{\bf n})={\bf m}^2+6{\bf m}{\bf n}+9{\bf n}^2= 1+6\cdot 1\cdot 1\cos 60^{\circ}+9=13$ .

Ответ: 7 и 13.    

 

 

7271f726
На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой