Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Атомная энергетика. Ядерные реакторы АЭС. Атомный флот. Ядерное оружие
Атомные станции
Реактор БН-800
ВВЭР-1000
 РБМК-1000
Ледоколы
Подлодки
Флот
 Гражданский суда
Ядерное оружие
Ядерная физика
Плавучие АЭС
 Авиация

Высшая математика

1 семестр
2 семестр
3 семестр
 Задачи
Интеграл
Курсовая
Контрольная
 Практикум
Алгебра
Матанализ
Геометрия
 Карта сайта

 

 

    Теорема 19.5   Пусть собственные векторы $ {\bf i}'$ , $ {\bf j}'$ , $ {\bf k}'$ матрицы квадратичной формы $ f$ , образующие ортонормированный базис, соответствуют собственным числам $ {\lambda}_1$ , $ {\lambda}_2$ , $ {\lambda}_3$ . Тогда в системе координат $ {Ox'y'z'}$ квадратичная форма принимает вид
$\displaystyle f={\lambda}_1(x')^2+{\lambda}_2(y')^2+{\lambda}_3(z')^2.$
    

Если мы из равенства (19.8) выпишем выражение $ x$ , $ y$ , $ z$ через новые переменные $ x'$ , $ y'$ , $ z'$ и подставим в уравнение (19.7), то обнаружим, что квадратичная его часть и линейная часть преобразуются независимо друг от друга. В результате уравнение в системе координат $ Ox'y'z'$ имеет вид

$\displaystyle {\lambda}_1(x')^2+{\lambda}_2(y')^2+{\lambda}_3(z')^2+b_1'x'+b_2y'+b_3'z'+c=0.$(19.9)
 


Хотя бы одно из чисел $ {\lambda}_1$ , $ {\lambda}_2$ , $ {\lambda}_3$ отлично от нуля, иначе матрица $ A$ была бы нулевой.

Рассмотрим три случая.

  1. Пусть все собственные числа $ {\lambda}_1$ , $ {\lambda}_2$ , $ {\lambda}_3$ отличны от нуля. В уравнении (19.9) выделим полные квадраты
  1. $\displaystyle {\lambda}_1(x'-x_1')^2+{\lambda}_2(y'-y_1')^2+{\lambda}_3(z'-z_1')^2+c'=0.$

    Выполним параллельный перенос системы координат $ Ox'y'z'$ , взяв за новое начало системы координат точку $ {O_1(x_1';y_1';z_1')}$ (см. формулы (13.21)). Тогда в новой системе координат $ {O\tilde x\tilde y\tilde z}$ уравнение запишется в виде

    $\displaystyle {\lambda}_1\tilde x^2+{\lambda}_2\tilde y^2+{\lambda}_3\tilde z^2+c'=0.$

    Здесь возможны следующие варианты.

    1. Пусть $ {c'\ne0}$ . Перенесем $ c'$ в правую часть и поделим обе части на $ -c'$ , получим
    1. $\displaystyle \mu_1\tilde x^2+\mu_2\tilde y^2+\mu_3\tilde z^2=1.$
      1. Если числа $ \mu_1$ , $ \mu_2$ , $ \mu_3$ отрицательны, то ни одна точка пространства не удовлетворяет этому уравнению. Говорят, что оно определяет мнимый эллипсоид.
      2. Если числа $ \mu_1$ , $ \mu_2$ , $ \mu_3$ положительны, то уравнение является каноническим уравнением эллипсоида.
      3. Если одно из чисел $ \mu_1$ , $ \mu_2$ , $ \mu_3$ отрицательно, а остальные положительны, то (после переименования осей) получим каноническое уравнение однополостного гиперболоида.
      4. Если одно из чисел $ \mu_1$ , $ \mu_2$ , $ \mu_3$ положительно, остальные отрицательны, то (после переименования осей) получим каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.
    2. Пусть $ {c'=0}$ .
      1. Если все числа $ \mu_1$ , $ \mu_2$ , $ \mu_3$ положительны, то только начало координат удовлетворяет этому уравнению. Поверхность выродилась в точку.
      2. Если одно из чисел $ \mu_1$ , $ \mu_2$ , $ \mu_3$ отрицательно, а два положительны, то (после переименования осей) получим каноническое уравнение конуса.

      Если же два числа отрицательны или все три отрицательны, то, умножив обе части уравнения на $ -1$ , получим случай 2 или случай 1.

  2. Пусть одно из чисел $ {\lambda}_1$ , $ {\lambda}_2$ , $ {\lambda}_3$ равно нулю, а два других отличны от нуля. Допустим, что $ {{\lambda}_3=0}$ . Тогда в уравнении (19.9) выделим полные квадраты по переменным $ x'$ , $ y'$
    $\displaystyle {\lambda}_1(x'-x_1')^2+{\lambda}_2(y'-y_1')^2+b_3'z'+c'=0.$
    1. Пусть $ b_3'\ne0$ . Преобразуем уравнение к виду
    1. $\displaystyle {\lambda}_1(x'-x_1')^2+{\lambda}_2(y'-y_1')^2=-b_3'\left(z'+\frac {c'}{b_3'}\right).$

      Поделим обе части уравнения на $ -b_3'$ и выполним параллельный перенос осей координат, взяв за новое начало координат точку $ {O_1\left(x_1',y_1',-\frac {c'}{b_3'}\right)}$ . Получим уравнение

      $\displaystyle \mu_1\tilde x^2+\mu_2\tilde y^2=\tilde z.$

      1. Если числа $ \mu_1$ и $ \mu_2$ положительны, то это -- каноническое уравнение эллиптического параболоида.
      2. Если $ {\mu_1>0}$ , $ {\mu_2<0}$ , получим каноническое уравнение гиперболического параболоида.

      Если числа $ \mu_1$ и $ \mu_2$ отрицательны или $ {\mu_1<0}$ , $ {\mu_2>0}$ , то сменим направление у оси $ O_1\tilde z$ на противоположное и получим либо случай 1, либо случай 2.

    2. Пусть $ {b_3'=0}$ . Тогда поверхность является цилиндрической, образующие которой параллельны оси $ Oz'$ , а направляющей служит кривая на плоскости $ x'O y'$ с уравнением
      $\displaystyle {\lambda}_1(x'-x_1')^2+{\lambda}_2(y'-y_1')^2+c'=0.$

      Анализ поверхностей с таким уравнением предоставляем читателю.

  3. Пусть только одно из чисел $ {\lambda}_1$ , $ {\lambda}_2$ , $ {\lambda}_3$ отлично от нуля. Допустим, что $ {{\lambda}_2={\lambda}_3=0}$ . Тогда в уравнении (19.9) выделим полный квадрат по переменному $ x'$
    $\displaystyle {\lambda}_1(x'-x_1')^2+b_2y'+b_3z'+c'=0.$
    1. Пусть хотя бы одно из чисел $ b_2$ , $ b_3$ отлично от нуля. Тогда на плоскости $ y'Oz'$ возьмем две перпендикулярные прямые $ {b_1y'+b_3z'=0}$ и $ {b_3y'-b_2z'=0}$ . Возьмем новую систему координат, у которой начало будет в точке $ O$ , ось $ O\tilde x$ направлена по оси $ Ox'$ , ось $ O\tilde y$ направлена вдоль второй прямой, а ось $ O\tilde z$ направлена вдоль первой прямой. Тогда уравнение примет вид
    1. $\displaystyle {\lambda}_1\tilde x^2+\tilde y+c'=0.$

      Это -- уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси $ O\tilde z$ , а направляющей служит кривая на плоскости $ \tilde xO\tilde y$ с уравнением

      $\displaystyle {\lambda}_1\tilde x^2+\tilde y+c'=0.$

      Анализ возможных поверхностей оставляем читателю.

    2. Пусть $ {b_2=b_3=0}$ . Тогда уравнение принимает вид
      $\displaystyle (x'-x_1')^2=-\frac{c'}{{\lambda}_1}.$
      1. Если число справа положительно, то уравнение определяет две плоскости
      1. $\displaystyle x'=x_1'\pm\sqrt{-\frac{c'}{{\lambda}_1}}.$
      2. Если число справа равно нулю, то уравнение определяет одну плоскость
        $\displaystyle x'=x_1'.$
      3. Если число справа отрицательно, то ни одна точка пространства уравнению не удовлетворяет.

Итак, получен алгоритм, позволяющий установить, какая поверхность задается уравнением второго порядка и каково ее положение в пространстве.

      

7271f726
На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой