Энергетический баланс в электрических цепях
При протекании токов по сопротивлениям в последних выделяется теплота. На основании закона сохранения энергии количество теплоты, выделяющиеся в единицу времени в сопротивлениях схемы, должно равняться энергии, доставляемой за это же время источниками питания.
Уравнение энергетического баланса при питании только от источников ЭДС имеет вид:
. (3.20а)
Когда
схема питания не только от источников ЭДС 
, но и от источников тока 
, тогда при составлении уравнения энергетического
баланса необходимо учесть энергию, доставляемую источниками тока. При этом общий
вид уравнения энергетического баланса:
,
(3.20б)
где 
падение наряжения
между узлами схемы a и b.
Задача 2. К зажимам а и с схемы рис. 3.16 подключен вольтметр, имеющий очень большое, теоретически бесконечно большое сопротивление (следовательно, его подключение или отключение не влияет на режим работы цепи).
Если
ток 
течет от точки а к точке с, то показание вольтметра 
;
если этот ток течет от точки с к точке а, то 
. Определить сопротивление R и ЭДС Е.
Решение: В
первом режиме 
, во втором 
. Совместное решение дает 
.
Задача 3. Напишите Закон Ома для идеальных пассивных элементов.
Решение:
; 
; 
Закон Ома устанавливает соотношение между током, протекающим через какойлибо двухполюсник, и напряжением на его зажимах.
Задача 4. Напишите узловое уравнение для узла, изображенного на рис. 3.19.
Решение: Для узла, изображенного на рис. 3.19, узловое уравнение будет таким:
.
Иногда уравнение записывают, выделяя источники тока:
,
то есть
.
Аналогичные уравнения можно записать для любого отсечения:
или 
и т. д. Пример приведен на рис. 3.20.
Рис. 3.20 Рис. 3.21
Задача 5. Решим задачу, характерную для параллельного соединения резисторов (рис. 3.21) по первому закону Кирхгофа:
.
Значит, п параллельно соединенных резисторов,
с точки зрения остальной цепи, можно заменить одним 
в соответствии с соотношением
или 
Для двух резисторов это соотношение часто при меняется в виде
.
Если параллельно соединены конденсаторы, то
,
то есть 
.
При соединении катушек индуктивности
,
откуда получим: 
.
Задача 6. Для приведенной схемы записать уравнения по второму закону Кирхгофа.
Решение: Напомним, что напряжение на двухполюсных элементах это разность потенциалов на его зажимах:
Нетрудно убедиться в том, что для схемы, изображенной на рис. 3.22,
,
 |
Рис. 3.22
то есть сумма напряжений на двухполюсниках любого замкнутого контура равна нулю. Конечно, это будет справедливо, если соблюдать правило знаков:
:
и т. д.
Если какиелибо из двухполюсников представляют собой источники ЭДС, то с учетом взаимного направления е и и можно записать контурное уравнение:
В левой его части используются напряжения со знаком «+», совпадающие с направлением обхода контура, в правой ЭДС, совпадающие с тем же направлением обхода. Для представления уравнений второго закона Кирхгофа относительно тех же переменных (токов) используются приведенные ранее компонентные уравнения.
Задача Рассмотрим систему, состоящую из последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки. На этот двухполюсник воздействует ЭДС e(t) (рис. 3.23).
Решение: Контурное уравнение для такой системы будет
следующим: 
; 
,
где 
, 
, 
.
Поскольку через все элементы протекает один и
тот же ток, то с некоторой долей условности можно записать:
, где оператор 
имеет смысл сопротивления и характеризует среду, где действует
возмущение e(t). В этом смысле оператор Z выражает собственное свойство системы.
Рис. 3.23
Применяя второй закон Кирхгофа, легко получить выражения для эквивалентной замены последовательно соединенных резисторов, катушек индуктивности и емкостей:
;
; 
.
ЗАДАЧА 1.4
Дано: R1=R2=R3=R4=R5=R6=1 Ом, Е1=Е2= Е3=10 В, J=2 А.
Найти: ток через Е3, используя метод эквивалентных преобразований.
Решение:
Обозначим положительное направление искомого тока Iх.
Заменим «звезду» R2R3R4 на «треугольник»
R23=R2+R3+R2×R3/R4=3 [Ом],
R34=R3+R4+R3×R4/R2=3 [Ом],
R42=R4+R2+R4×R2/R3=3 [Ом].
Расщепим» Е2
E21=E22=10 [В].
Параллельные соединения Е1R1||Е21R23 и Е22R34||R5 заменим на эквивалентные
Rэ1=R1×R23/(R1+R23)=3/4 [Ом],
Rэ2=R5×R34/(R5+R34)=3/4 [Ом],
Eэ1=(-E1/R1+E21/R23)×Rэ1=-5 [В],
Eэ2=(E22/R34)× Rэ1=2,5[В].
Источник тока J преобразуем в источник ЭДС
EJ=J×Rэ2=1,5 [В].
Последовательные соединения Еэ1, Еэ2, ЕJ и Rэ1, Rэ2 заменим на эквивалентные
Eэ3=-Eэ1+Eэ2-ЕJ=6 [В],
Rэ3=Rэ1+Rэ2=1,5 [Ом].
Параллельное соединение Еэ3Rэ3||R42 заменим на эквивалентное
Rэ4=Rэ3×R42/(Rэ3+R42)=1 [Ом],
Eэ4=(Eэ3/Rэ3)×Rэ4=4 [В].
Согласно закону Ома искомый ток будет определяться как
=
– 7 [A].
Ответ: Ix = –7 [A].
