Некоторые математические понятия и символы
С самого начала и на протяжении всего курса мы будем пользоваться некоторыми математическими символами и понятиями, не встречавшимися (или редко применявшимися) в школьном курсе физики. Дадим необходимые в этой связи пояснения.
ЗНАКИ МАЛОСТИ, НЕРАВЕНСТВА, ПРИБЛИЖЕННОГО РАВЕНСТВА И ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ
Для обозначения малых величин (или малых изменений
величин) принято ставить перед ними знак ∆. Например, 
малая масса, 
малый промежуток времени и т. д.
Помимо общеизвестных знаков неравенства
> и < употребляются знаки ≠ (не равно), >> (гораздо больше)
и << (гораздо меньше). Например, 
масса Земли гораздо меньше 
относительно 
массасы Солнца.
Для обозначения приближенного равенства
применяется знак » Например, радиус Земли 
.
Для выражения пропорциональной зависимости служит знак ~.
1.3.2. НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ
Наряду с десятичными
логарифмами (
) применяются натуральные логарифмы (
), основанием которых служит иррациональное
число 
. Переход от десятичного логарифма к натуральному совершается
по формуле 
.
1.3.3. АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ И ПОРЯДОК ВЕЛИЧИНЫ
Абсолютным
значением величины называется ее значение, взятое с положительным знаком; условно
обозначается посредством заключения величины в прямые скобки. Если, например,
напряжение 
, то абсолютное значение напряжения 
.
Порядком величины называется
ближайшее к ее значению число, которое может быть выражено в виде 10га. Например,
ускорение свободного падения 
имеет
порядок 
, длина световой волны 
имеет порядок 
и т. п.
1.3.4. СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ СУММЫ
Сумму большого числа однородных величин
принято
записывать сокращенно с помощью знака 
следующим образом:
или 
,
Стоящие при знаке
суммы числа 1 и 
(пределы суммирования) показывают, что надо складывать
все 
подряд, начиная с 
и кончая 
.
1.3.5. СПОСОБЫ УСРЕДНЕНИЯ ВЕЛИЧИН
Существует несколько способов вычисления среднего значения
величины по нескольким (
) отдельным
ее значениям 
. Мы будем пользоваться:
а) средним арифметическим значением величины называется сумма отдельных значений величины, деленная на их число:
б) средним геометрическим значением величины называется корень пй степени из произведения п отдельных ее значений:
;
в) средним квадратичным значением величины называется квадратный корень из суммы квадратов отдельных значений величины, деленной на их число:
.
Результаты
усреднения, полученные этими способами, обычно мало отличаются один от другого
(но все же 
).
1.3.6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
Все физические величины подразделяются на две группы: скалярные (скаляры) и векторные (векторы).
Скалярная величина полностью определяется числовым значением. Скалярами являются, например, время, площадь, масса, работа. Действия над скалярами производятся по правилам алгебры, дифференциального и интегрального исчислений.
Векторная величина полностью определяется числовым значением и направлением.
Векторами являются, например, скорость, ускорение, сила. В отличие от скаляров
векторы обозначаются полужирными буквами или буквами со стрелкой сверху. Например,
вектор скорости, 
вектор силы и т. п. Графически вектор изображают отрезком со стрелкой на конце.
Длина отрезка соответствует (в произвольном масштабе) числовому значению вектора;
стрелка показывает направление вектора. На рис.1 изображен вектор силы , числовое значение которого 3Н (ньютон). Векторы, имеющие
одинаковые модули и направления, равны между собой. Отсюда следует, что при параллельном
переносе вектор не изменяется.
Два численно равных, но противоположно направленных
вектора 
и 
называются противоположными. Для них
или 
.
Классический метод расчёта.
При анализе цепей N-го порядка (K — индуктивных элементов и (N-K) – ёмкостных элементов) с источниками постоянной ЭДС расчёт производится по следующему алгоритму:
1) Определить значения токов через индуктивные элементы iLk(0–) и напряжений на ёмкостных элементах uCn(0–) в электрической цепи до коммутации (t<0), где k=1, 2,…K; n=1, 2,… (N-K). Статический режим до коммутации рассчитывают при соответствующем состоянии ключа, заменяя индуктивные элементы в цепи перемычками, а ёмкостные разрывами между точками их подключения.
2) Определить значения напряжений на индуктивных элементах uLk(0+) и токов через ёмкостные элементы цепи iCn(0+) непосредственно после коммутации (t=0+). Для этого индуктивные элементы цепи нужно заменить источниками тока со значениями JLk = iLk(0–), а ёмкостные элементы — источниками ЭДС со значениями ECn = — uCn(0–)
3) Определить значения токов через индуктивные элементы iLk(µ) и напряжений на ёмкостных элементах uCn(µ) в электрической цепи в установившемся режиме после коммутации (t=µ), выполнив замену элементов аналогичную п.1.
4) Составить характеристическое уравнение и определить его корни. Для этого нужно разорвать любую ветвь электрической цепи в послекоммутационном состоянии и определить комплексное сопротивление относительно точек разрыва. При этом нужно заменить источники ЭДС и тока их эквивалентными сопротивлениями, т.е. заменить источники ЭДС перемычкой, а источники тока разрывом между точками подключения. После чего, заменить в выражении комплексного сопротивления произведения jw на p и, приравняв полученное выражение нулю, решить уравнение относительно p.
5) Представить мгновенные значения токов через индуктивные элементы и напряжений на ёмкостных элементах в виде
iLk(t)=iLk(µ)+A1×ep1×t+…+AN×epN×t, uCn(t)=uCn(µ)+B1×ep1×t+…+BN×epN×t, если все корни характеристического уравнения вещественные и разные;
iLk(t)=iLk(µ)+(A1×t+A2)×ed×t+…+AN×epN×t, uCn(t)=uCn(µ)+(B1×t+B2)×ed×t +…+ BN×epN×t, если среди корней характеристического уравнения есть пара одинаковых р1=р2=d;
iLk(t)=iLk(µ)+[A1×sin(w×t)+A2×cos(w×t)]×ed×t+…+AN×epN×t,
uCn(t)=uCn(µ)+[A1×sin(w×t)+A2×cos(w×t)]×ed×t+…+ BN×epN×t, если среди корней есть пара комплексно-сопряженных р1,2=d±j×w.
6) Составить систему из N уравнений
Кирхгофа для состояния цепи в момент времени t=0+ и определить постоянные интегрирования
А1,…AN, В1,…BN. с учётом значений, полученных в п.2: 
и 
.
7) С помощью законов Ома и Кирхгофа определить, если требуется, остальные токи и напряжения в цепи.
Примеры рассмотрены в задачах 2.1 и 2.2.
