Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Физика решение задач

КРИВИЗНА И РАДИУС КРИВИЗНЫ

На различных участках кривой линии ее кривизна может быть различной. Для оценки кривизны линий введены понятия кривизны и радиуса кривизны.

Малые участки и кривой линии ab всегда мо­жно совместить с некоторой окружностью (рис. 7). Ради­усы и этих окружнос­тей называются радиусами кривизны кривой линии наданных участках. Если вообще участок кривой бесконеч­но мал (), то можноговорить о радиусе кривизны кривой в данной точке.

Рис. 7

Величина, обратная ра­диусу кривизны, называется кривизной кривой линии: . Отметим, что у прямой линии , а К = 0.

ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда послед­нее стремится к нулю. Обозначают производную символами , или , или (читается: «де игрек по де икс»). Таким образом,

, (1)

где — главная часть приращения функции у при бесконечно ма­лом приращении аргумента х. Символы и называются со­ответственно дифференциалом функции и дифференциалом аргумента. Из (1) следует, что

. (2)

т. е. дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента.

Процесс вычисления (взятия) производной называется дифферен­цированием. Правила дифференцирования и формулы производных различных функций выводятся в курсе высшей математики. При­ведем только те формулы и правила дифференцирования, которые применяются в данном учебнике (С и п постоянные величины, е основание натуральных логарифмов):

, ;

, ;

, ;

, ;

, , ;

, если , где .

Вычислим, например, производную функции

,

где А и k постоянные:

.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ИНТЕГРАЛ

Интегрирование является действием, обратным дифференциро­ванию. Знак этого действия называется интегралом. Таким об­разом, если дифференциал функции есть , то интеграл вы­ражения будет равен F(x) + С, где С некоторая (любая) постоянная величина:

, (3)

где подынтегральное выражение, f(x) подынтеграль­ная функция, х переменная интегрирования, F(x) первообразная функции, С постоянная интегрирования.

Действительно, взяв дифференциал от обеих частей равенства (3), получим

.

Поскольку С может иметь любые значения, интеграл, стоящий в ле­вой части равенства (3), тоже может иметь любые значения. В этом смысле называется неопределенным интегралом.

Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, при­веденными в предыдущем разделе этого параграфа, нетрудно по­лучить соответствующие формулы неопределенных интегралов и правила интегрирования:

, мұндағы ;

;

;

;

;

;

;

; ; где , .

Эти формулы нужны для вычисления определенного интеграла, который используется для нахождения числового значения площади фигур, кинематических характеристик движения тел, значений работы, энергии, потенциала электрического поля, энергии маг­нитного поля, интенсивности света и многих других физических величин.

Так, например, площадь криволинейной трапеции, ограничен­ной графиком функции y=f(x), осью абсцисс и ординатами х=а и , равна разности F(b) F(a), где F(x) первообразная функция для f(x). Эта разность и называется определенным интегра­лом (поскольку она, очевидно, не содержит постоянной интегрирования С), обозначаемым символом .

Тогда

,

где а и b соответственно нижний и верхний пределы интегри рования.

Итак, определенный интеграл равен разности значений первообразной функции, взятой при верхнем и при нижнем пределах интегрирования.

Если, например, , а = 1м и м, то, используя соответствующие формулы интегрирования, получим

ЗАДАЧА 2.2

Решение:

1) Цепь при t<0

2) Цепь при t=0+

3) Цепь при t=¥

4) Составляем и решаем характеристическое уравнение

Приравняв z(p) к 0, получим корни характеристического уравнения

р1= –2300 [1/с], р2= –8700 [1/с].

5) Записываем мгновенные значения напряжения на ёмкостном элементе и тока через индуктивный элемент в общем виде

uC(t)=uC(µ)+B1×ep1×t+B2×ep2×t =100+B1×e–2300×t+B2×e–8300×t [B];

iL(t)=iL(µ)+A1×ep1×t+A2×ep2×t =0,1+A1×e–2300×t+A2×e–8300×t [A].

6) Определяем постоянные интегрирования.

Ток iL(t) в момент t=0+ будет iL(0+)=0,1+A1+A2, а с учетом iL(0–)=iL(0+)=0, получаем A1+A2 = - 0,1.

Напряжение uL(t)=L×diL/dt=0,1×(-2300×A1×e-2300×t-8700×A2×e-8700×t) в момент t=0+ будет uL(0+)=0,1×(-2300×A1 -8700×A2) или, с учетом uL(0+)=0, 2,3×A1+8,7×A2=0.

Напряжение uC(t) в момент t=0+ будет uC(0+)=100+B1+B2 или, с учетом uC(0+)=0, B1+B2=-100 .

Ток iC(t)=C×duC/dt=10-6×(-2300×B1×e-2300×t-8700×B2×e-8700×t) для t=0+, будет iC(0+)=10-6×(- 2300×B1 - 8700×B2) или, с учетом iC(0+)=0,2 , 2,3×B1 + 8,7×B2 = -200.

Располагаем двумя системами уравнений и их решениями:

.

Тогда iL(t)=0,1-0,1359×e-2300t+0,0359e-8700t [A];

uC(t)=100-104,7×e-2300t+4,7e-8700t [B].

7) Полученные в п.6 соотношения дают возможность определить остальные токи и напряжения:

iC(t)=C×duC/dt =10-6×(104,7×2300×e-2300t-4,7×8700×e-8700t) =

=0,2406×e-2300t -0,0406×e-8700t [A];

uL(t)=L×diL/dt=0,1×(0,1359×2300×e-2300t-0,0359×8700×e-8700t) =

=31,26×e-2300t-31,26×e-8700t [B];

i(t)=iL(t)+iC(t)=0,1+0,1047×e-2300t-0,0047×e-8700t [A].

Ответ: iL(t)=0,1-0,1359×e-2300t+0,0359e-8700t [A];

iC(t)=0,2406×e-2300t -0,0406×e-8700t [A];

i(t)=0,1+0,1047×e-2300t-0,0047×e-8700t [A];

uL(t)=31,26×e-2300t-31,26×e-8700t [B];

uC(t)=100-104,7×e-2300t+4,7e-8700t [B].