Некоторые вторые производные
Как и в случае образования градиента, дивергенции и ротора
, 
, 
,
оператор Гамильтона 
позволяет выполнять другие, более сложные операции пространственного
дифференцирования:
;
данная формула выражает оператор Лапласа лапласиан, который получен путем скалярного умножения двух операторов Гамильтона. Аналогично,
;
;
.
В равенстве нулю 
и 
можно убедиться в результате непосредственного вычисления,
хотя очевидность отсутствия вихря градиента и расхождения, растечения замкнутого
на себя вихря неоспорима. Это можно доказать при помощи последовательного применения
теорем Остроградского Гаусса и Стокса
,
так
как циркуляция (работа!), производимая вектором 
по замкнутому контуру, не охватывающему
источник поля, тождественно равна нулю.
Очень важной в теории поля является производная
в соответствии с правилами векторной алгебры [b [ba]] = b (ba) (bb)a. Иначе это соотношение записывается так:
; (5)
следует отметить, что
;
второй член правой части этого выражения является вектором,
слагающая которого, например по оси х, равна
.
Рис.
11. Графическое доказательство выражения ;
Доказать справедливость соотношения
(5) можно как численно, так и графически. Пусть векторы и лежат в одной плоскости; так как 
, то 
по направлению выражения совпадает с .
По той же причине 
содержит в
себе произвольно взятый отрезок 
. С другой стороны, векторное произведение
будет
представлено вектором перпендикулярным к плоскости 
, а вектор
снова
расположится в плоскости перпендикулярно к вектору . Таким образом, разность векторов
,
г. е. формула
справедлива (рис. 11).
В дальнейшем придется прибегать и к операциям пространственного
дифференцирования над произведениями скалярных и векторных величин. Они напоминают
линейное дифференцирование, но знак d заменяется на символ . Следует иметь в виду также, что при
воздействии оператора на скаляр 
образуется 
; векторное произведение 
дает 
, а скалярное 
.
Это отражено в приводимых ниже формулах:
или 
;
или 
;
или 
;
и т. д.
Эти формулы могут быть получены как непосредственным вычислением, так и из векторной алгебры.
Расчет электрических цепей однофазного синусоидального тока
Методические рекомендации по выполнению задания
1. Мгновенное значение величины, синусоидально изменяющейся с течением времени
,
где Аm - максимальное значение или амплитуда; (wt+ya) - фаза (фазовый угол); ya - начальная фаза (начальный фазовый угол); w - угловая частота [рад/c].
Период T [c] , угловая частота w и частота f [Гц] связаны соотношением
; 
.
По приведенному уравнению можно построить синусоиду и соответствующую векторную диаграмму, которая получается с учетом того, что мгновенные значения а — это проекция вращающегося вектора Аm на ось мнимых чисел.
Аналитически этот вращающийся вектор записывается как
Аm e jya e jwt
Амплитуда Оператор поворота Оператор вращения с
на угол ya угловой частотой w
Обозначим 
, где 
- комплексное
амплитудное значение.
Таким образом, а(t)=Аm sin(wt
+ yа) = Im[ e jwt].
операция выделения мнимой
части комплексного числа.
Метод представления синусоидальных функций времени изображениями в виде векторов на комплексной плоскости называется символическим методом или методом комплексных амплитуд.
При необходимости можно оперировать
комплексным действующим значением 
с учетом того, что действующее значение 
.
