Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой , .

  Р е ш е н и е. Для построения кривой учтем, что она симметрична относительно осей координат. Действительно, если заменить на то переменная не меняется, а изменяет только свой знак; следовательно, кривая симметрична относительно оси . При замене же на переменная не меняется, а изменяет только свой знак. Это значит, что кривая сим­метрична относительно оси . Далее, так как функ­ции ; имеют общий период , то достаточно ограничится следующим отрезком изменения параметра: . Из уравнений кривой легко заключить, что переменные и одновременно сохраняют неотрицательные значения только при изме­нении параметра на отрезке поэтому при получается часть кривой, лежащая в первой четверти. Общий вид кривой изображен на рис.2.1. Как видно из этого рисунка, достаточно вычислить площадь одной петли кривой, соответствующей изменению параметра от до , и затем удвоить результат

На главную