Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы

Пример 5. Найти площадь петли кривой: ; .

   Р е ш е н и е. Нас будет интересовать общий вид кривой и точки ее самопересечения. Обе функции и определе-ны всей числовой оси . Точка самопересечения характерна тем, что в ней совпа-дают зна­чения абсциссы (и ординаты) при разных значе-ниях параметра. Так как , то абсциссы сов-падают при значениях параметра . Чтобы функция принимала при тех же значениях параметра одно и то же значение, должно выполняться равенство при , откуда . Таким образом, при и при имеем и , т.е. точка (0, 0) является единственной точкой самопересечения. Когда меняется от 0 до 6, точки кривой лежат в первой четверти. При изменении от 0 до 3, точка описывает нижнюю часть петли, так как в указанном промежутке и возрастают, а затем функция начинает убывать, в то время как сначала еще возрастает. На рис. 2.2 указан обход кривой, соответствующий возрастанию (фигура остается слева). Площадь искомой петли удобно искать по формуле

На главную