Вычисление площадей в декартовых координатах
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми х=0, х=2 и кривыми у=2х , у=2х–х2
Пример 2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами х = –2у2, х=1–3у2
Пример 3. Найти площадь фигуры, заключенной между параболой х2=4у и локоном Аньези :
.
Пример 1.4. Вычислить площадь фигуры, лежащей в первой четверти внутри круга
и ограниченной параболами
и
Пример 1.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
и осью Ох.
Пример 1.6. Найти площадь сегмента, отсекаемого от кривой
хордой
.
Пример 1.7. Найти площадь фигуры, ограниченной двумя ветвями кривой
и прямой
.
Пример 1.8. Вычислить площадь петли кривой
.
Пример 1.9. Найти площадь между параболой
, касательной к ней в точке М(2,–5) и осью ординат.
Пример1.10. Найти площади фигур, ограниченных окружностью
и параболой
Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы (контура)
Если граница фигуры задана параметрическими уравнениями
,
,то площадь фигуры вычисляется по одной из трех формул
:
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эл-липсом;
;
где
и
- значения параметра
, соответствующие началу и концу обхода контура в положительном направлении (при ко-тором фигура остается слева).
,
Пример 2.Найти площадь астроиды
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды
,
и осью
.
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
,
. [an error occurred while processing this directive]
Пример 5. Найти площадь петли кривой:
;
Пример 6. Вычислить площадь, содержащуюся внутри кардиоиды:
;
Площадь в полярных координатах
В полярных координатах площадь сектора, ограниченного дугой кривой
и лучами
и
, выражается интегралом
Пример 1. Найти площадь фигуры, лежащей в первой четверти и ограниченной параболой
и прямыми
и
.
Пример 2. Найти площадь фигуры, лежащей вне круга
и ограниченной кривой
.
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями
и
.
Пример 4 . Найти площадь фигуры, вырезаемой окружностью
из кардиоиды
(рис.3.4).
Пример 5. Найти площадь петли декартова листа
.
| На главную |