Площадь в полярных координатах

Пример 5. Найти площадь петли декартова листа .               

Решение. Перейдем к полярным координатам по обычным фор­мулам , .Тогда заданное уравнение перепишется в виде,или

01 12 . Из этого уравнения вытекает, во-первых, что при и при и, во-вторых, при и . Последнее означает, что декартов лист имеет асимптоту, уравнение которой можно найти обычным обра­зом в декартовых координатах.Следовательно, петля декартова ли­ста описывается при изменении от 0 до и лежит в первой четверти (рис.3.5).Таким образом, искомая площадь равна . Пользуясь симметрией кривой от­носительно биссектрисы , т, е. относительно луча , мы можем вычислить площадь половины петли (от до ) и затем удвоить ее. Это позволит воспользоваться заменой  0 01

, ,  что дает. Новая замена, , приводит к интегралу.

На главную