Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически

Пример 3. Вычислить длину дуги эллипса

.

Р е ш е н и е. Перейдем к параметрическому заданию эллипса

, , .

Дифференцируя по , получаем

; ,

откуда

,

где — эксцентриситет эллипса, .

Таким образом,

.

Интеграл не берется в элементарных функциях: он называется эллиптическим интегралом второю рода. Полагая , приводим интеграл к стандартному виду:

.

где Е()—обозначение для так называемого полного эллиптического интеграла второго рода.

Следовательно, для длины дуги эллипса имеет место формула .

Обычно полагают и пользуются таблицами функции

.

Например, если и , то

.

По таблице значений эллиптических интегралов второго рода находим .

На главную