Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах

Если плоская кривая задана уравнением и производная непрерывна, то длина дуги этой кривой выражается интегралом:.где а и b — абсциссы концов данной дуги.

Пример 1. Вычислить длину дуги полукубической параболы заключенной между точками (0, 0) и (4, 8)

Пример 2. Вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками с абсциссами , .

Пример 3. Вычислить длину дуги кривой , заключен­ной между точками с ординатами и .

Пример 4. Вычислить длину дуги астроиды .

Пример 5. Вычислить длину дуги кривой ОАВСО, состоящей из участков кривых и

Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически

Если кривая задана уравнениями в параметрической форме , и производные , непрерывны на отрезке [, ] , то длина дуги кривой выражается интегралом.где и — значения параметра , соответствующие концам дуги (<).

Пример 1. Вычислить длину дуги развертки круга , от до .

Пример 2. Вычислить длину астроиды:, .

Пример 3.Вычислить длину дуги эллипса .