Гравитация
Законы Кеплера
Гравитация (тяготение) является универсальным взаимодействием (в данном случае притяжением) между любыми видами материи.
Справедливы три закона планетных движений (законы Кеплера): 1. каждая
планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце; 2.
радиус-вектор планеты в равные времен описывает равные площади; 3. квадраты времен
обращений планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым
они движутся вокруг Солнца. Законы Кеплера естественным образом привели Ньютона
к открытию закона всемирного тяготения: две материальные точки с массами 
и 
притягивают друг друга с силой, обратно пропорциональной
квадрату расстояния 
между ними.
Рассмотрим упомянутую взаимосвязь
законов Кеплера и закона всемирного тяготения. Из 
закона Кеплера следует, что траектория планеты - плоская
кривая. Пусть в момент времени 
положение планеты, которая движется со скоростью 
,
определяется радиус-вектором 
. За время 
радиус-вектор получает приращение 
, описывая площадь бесконечно малого
треугольника, выделенного на Рис.7.1. Площадь этого треугольника можно отобразить
вектором
. (7.1)
Вектор
перпендикулярен площади треугольника. Площадь, описываемая
радиус-вектором в единицу времени:
,
(7.2)
называется секториальной скоростью. Используя понятие момента импульса (см. в разделе динамики вращательного движения)
,
(7.3)
имеем:
. (7.4)
Если
сила, действующая на планету, центральная и ее направление проходит через полюс
(центр Солнца), то момент этой силы равен нулю и, согласно
основному закону динамики вращательного движения, вектор 
не будет меняться во времени. Для 
не будет меняться и секториальная скорость: 
- закон площадей. Для простоты положим, что планеты движутся
не по эллипсам, а по окружностям, в центре которых находится Солнце. Тогда нормальное
ускорение планеты:
, (7.5)
где
- радиус орбиты; 
- период движения планеты по этой орбите. Согласно 
закону Кеплера:
, (7.6)
где
- постоянная Кеплера. Перепишем выражение для нормального
ускорения планеты:
. (7.7)
Сила, действующая на планету, равна:
.
(7.8)
В итоге получено выражение для закона всемирного тяготения:
,
(7.9)
где 
, 
- массы планеты и Солнца, соответственно. Гравитационная
постоянная 
и постоянная Кеплера связаны следующим образом:
.
(7.10)
Силовые и энергетические характеристики гравитационного поля.
Гравитационный радиус
Энергия покоя тела массы 
равна 
(см. раздел, посвященный специальной теории относительности).
Движение в гравитационном поле солнечной системы Рассмотрим особенности движения в гравитационном поле солнечной системы.
Космические
скорости Рассмотрим так называемые космические скорости. космической скоростью называется скорость,
с которой тело массой может двигаться вокруг Земли по круговой орбите радиуса
(низкие орбиты), где 
- радиус Земли.
При запуске ракеты по и против
орбитальной скорости движения Земли имеем: 
и 
. 
космической скоростью называется минимальная
скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно могло упасть в заданную
точку Солнца.
Форма Земли Рассмотрим форму Земли. Первую численную оценку величины отклонения формы Земли от шарообразной дал Ньютон.
Охарактеризуйте гравитационное взаимодействие шарового слояматерии и находящейся во внешнем пространстве материальной
точки.
Движение тел переменной массы Уравнение Мещерского.
