Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Если на границу раздела двух сред падает под углом, отличным от нуля, естественный свет, то отраженная и преломленная световая волна будут частично поляризованы.

20.5.1. Формулы Френеля

На рисунке изображены и обозначены соответствующими значками составляющие векторов напряженности электрического поля падающей волны , отраженной волны , преломленной волны .

Относительные значения этих величин следуют из граничных условий, налагаемых на электрическое и магнитное поле световой волны. Формулы, связывающие компоненты векторов , были впервые получены О. Френелем и носят название формул Френеля:

Эти формулы и позволяют рассчитать степень поляризации (20.3.1) отраженной и падающей волны для произвольного угла падения.

Закон Брюстера

Пусть угол падения i таков, что отраженный луч перпендикулярен преломленному, т.е. r = π/2 - i_Бр. Это условие называют условием Брюстера (см. рисунок ниже), а угол - углом Брюстера - i_Бр.

Используя закон преломления

     (17.1.3.),

получим формулу, определяющую угол Брюстера:

.

При выполнении условия Брюстера i + r = π/2, тогда из формулы Френеля для получим:

Таким образом, при выполнении условия Брюстера, отраженный свет будет полностью поляризован в плоскости, перпендикулярной плоскости падения.

Это утверждение носит название закона Брюстера.

Закон Брюстера имеет простое объяснение. Отраженная световая волна появляется за счет излучения электронов среды, совершающих вынужденные колебания под действием вектора преломленной волны. Это излучение имеет направленный характер (16.4.2.3): его интенсивность равна нулю в направлении колебаний зарядов. Направим под углом Брюстера на границу раздела плоско поляризованную волну с вектором , лежащим в плоскости падения.

На рисунке изображена диаграмма направленности излучения, возбужденного вектором . Нулевой минимум этой диаграммы при выполнении условия Брюстера совпадает по направлению с отраженным лучом.

Если вектор падающей волны направить перпендикулярно плоскости падения (рисунок ниже), то направление колебаний электронов будет перпендикулярно плоскости падения. Тогда диаграмма направленности будет развернута своим максимумом в направлении отраженного луча (рисунок ниже). Напомним, что пространственная форма диаграммы похожа на бублик без дырки (16.4.2.3).

Двойное лучепреломление

Как уже упоминалось в (17.1.2.), закон преломления может не выполняться в анизотропных средах. Действительно, этот закон утверждает, что:

,       где n₁ и n₂ - постоянные для данных веществ величины.

Но

     (19.3.2),

где E₀ - напряженность электрического поля в вакууме, а E - в веществе. Поле в веществе E < E₀, т.к. диэлектрик поляризуется и создает поле E', направленное навстречу E₀. В свою очередь поле E' пропорционально вектору поляризации (9.13.3), а величина вектора пропорциональна сумме дипольных моментов молекул (9.13.2). Дипольный же момент — это произведение заряда q на расстояние между зарядами r (9.13.1.1.). Если молекула несимметрична, то величина ее дипольного момента зависит от ее ориентации относительно вектора напряженности электрического поля. Следовательно, показатель преломления n будет зависеть от направления вектора световой волны. В этом и состоит нарушение закона преломления.

20.6.1. Модель двояко преломляющего кристалла

Рассмотрим модель кристаллического вещества, в котором "молекулы" в форме эллипсоидов вращения хорошо поляризуются вдоль одной оси. Назовем эту ось оптической осью "кристалла". В направлениях, перпендикулярных этой оси (рисунок ниже), "молекулы" поляризуются хуже.

Направим на этот "кристалл" перпендикулярно оптической оси два плоско поляризованных луча света. Пусть у одного луча вектор 1 перпендикулярен длинной оси "молекул" - оптической оси "кристалла", а у другого 2 параллелен оптической оси. Показатели преломления для этих лучей будут разные. В силу приведенных выше рассуждений n₁ < n₂. Лучи 1 и 2 после прохождения кристалла толщиной d приобретут оптическую разность хода:

.

С этой разностью хода связана разность фаз (18.1.2.2):

.

При изменении плоскости поляризации света показатель преломления будет изменяться от n₁ до n₂, т. е. n ≠ const!
Направим теперь на наш "кристалл" плоско поляризованный свет, распространяющийся вдоль оптической оси. В силу симметрии "молекул" в плоскости, перпендикулярной оптической оси, показатель преломления теперь не будет зависеть от направления вектора . В данной ситуации при любом своем направлении вектор остается перпендикулярным длинной оси молекул (оптической оси "кристалла"), следовательно, n = const = n₁.

Главным сечением кристалла называют любую плоскость, проходящую через его оптическую ось. Если вектор световой волны перпендикулярен главному сечению, то показатель преломления n = const = n₁ (лучи 1 и 3 на верхнем рисунке).

Необыкновенный и обыкновенный луч

Направим на наш кристалл под произвольным углом к оптической оси световую волну с вектором , лежащим в главном сечении (рисунок ниже). Пусть верхняя грань кристалла будет параллельна оптической оси.

При изменении угла падения i угол преломления r будет изменяться, но отношение

.

Это и есть нарушение закона преломления. Поэтому, такой луч называют необыкновенным, для него показатель преломления не является постоянной величиной, он зависит от направления распространения луча (т.к. с ним связана, в этом случае, ориентация вектора относительно оптической оси кристалла). Максимальная величина показателя преломления обычно обозначается n_e (у нас n_e обозначено как n₂).

Если вектор световой волны направить перпендикулярно главному сечению (см. рисунок в разделе (20.6.1), луч 1), то показатель преломления не будет зависеть от угла падения, т.е. закон преломления будет выполняться. Такой луч называют обыкновенным, а показатель преломления для этого луча обозначают обычно n₀ (у нас n₀ обозначено как n₁).

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕТА С ВЕЩЕСТВОМ

При распространении света в веществе возникают следующие явления. Во-первых, изменяется скорость распространения, см. (16.5.2), причем, скорость распространения зависит от длины световой волны. Это явление называется дисперсией.

Во-вторых, часть энергии световой волны теряется. Это явление называется поглощением или абсорбцией света.

Наконец, при распространении света в оптически неоднородной среде возникает рассеяние света на пространственных неоднородностях среды.

Дисперсия света

Дисперсией света называют зависимость показателя преломления n от длины волны (или от частоты), т.е.

n = n(λ).

У прозрачных веществ примерный вид зависимости изображен на следующем рисунке:

Такая зависимость n(λ), когда n уменьшается с ростом λ называется нормальной дисперсией. При прохождении белого света через призму свет разлагается в дисперсионный (призматический) спектр. Это явление впервые наблюдал И. Ньютон (1672 г.). Схема его опыта изображена на рисунке:

Классическая электронная теория дисперсии

 

Последовательное описание взаимодействия света с веществом возможно только в рамках квантовой теории. Однако, во многих случаях можно ограничиться описанием в рамках волновой (электромагнитной) теории излучения и классической электронной теории , согласно которой каждую молекулу среды можно рассматривать как систему зарядов, имеющих возможность совершать гармонические колебания - как систему осцилляторов с различными собственными частотами и коэффициентами затухания. Движение этих осцилляторов можно рассматривать на основе законов Ньютона.

Связь показателя преломления с дипольным моментом молекулы

 

Из теории Максвелла следует(см.16.5.2), что

.

Диэлектрическая проницаемость вещества ε показывает, во сколько раз E₀ - напряженность электрического поля в вакууме больше, чем Е - напряженность поля в среде (см. 9.13.3):

.

Как известно (см. 9.13.3), поле в среде уменьшается за счет возникновения встречного поля Е' , вызванного поляризацией среды. Величина Е' связана с поляризованностью диэлектрика Р (вектором поляризации) следующим соотношением (см. 9.13.3):

.

Таким образом, поле в вакууме E₀ больше, чем в среде на величину Е', т.е.:

.

По определению, поляризованность Р - это сумма дипольных моментов единицы объема среды. Если обозначить через N₀ число молекул среды в единице объема, - наведенный полем световой волны дипольный момент молекулы, то

.

Тогда для ε получим:

.

Так как ε = n²(см. 16.5.2), то

.

 

Связь дипольного момента молекулы с напряженностью поля световой волны

 

Как видно из только что полученной связи n² с p зависимость показателя преломления n от частоты волны ω определяется отношением p/E.

Здесь надо сделать две оговорки. Во-первых, поле, действующее на отдельную молекулу (локальное поле), вообще говоря, не совпадает с величиной среднего (макроскопического) поля в среде E. Мы не будем учитывать в элементарной теории дисперсии это различие, таким образом количественные выводы такой теории могут быть применены только к разреженным газам.

Во-вторых, дипольный момент молекулы p, наведенный полем световой волны E, является функцией от времени, т.е. p = p(t). Так как E = E(t) и фаза колебаний p(t) не совпадает, в общем случае, с фазой колебаний E(t), то для нахождения показателя преломления надо усреднить по времени отношение p(t)/E(t).

Тогда формула для n² приобретет следующий вид:

.

Простейшая модель атома в поле световой волны

Под действием световой волны совершают колебания только внешние электроны атома, их называют оптическими электронами. Будем считать, что у молекулы (атома) - один оптический электрон. Моделью такого атома будет упругий диполь, дипольный момент которого (см. 9.13.1.1):

.

Оптический электрон будет двигаться под действием квазиупругой силы, силы "трения" и внешней силы, действующей со стороны электрического поля световой волны. Если световая волна поляризованная, то все эти силы будут действовать вдоль одной прямой. Направим вдоль этой прямой ось x, начало координат совместим с положительным зарядом, который будем, в первом приближении, считать неподвижным. Таким образом, мы приходим к модели пружинного маятника, который совершает колебания под действием внешней гармонической силы.

Уравнение движения электрона и его решение

Уравнение движения, описывающее вынужденные колебания маятника с затуханием было получено нами из второго закона Ньютона в разделе 14.5.5.:

.

Здесь у нас x - координата электрона, ω₀ - собственная частота незатухающих колебаний электрона, β - коэффициент затухания, а

.

E_m - амплитуда световой волны;

ω - циклическая частота световой волны;
m_e- масса электрона,
e - элементарный заряд (e = 1,6 10-19 Кл).

Стационарное решение этого уравнения движения (14.5.6.1):

,

где

 

21.1.1.2.3. Проекции дипольного момента и напряженности поля волны на ось x

На следующем рисунке изображен диполь, силы действующие на его полюсы, ось x и вектор электрического поля волны в момент времени t = 0:

Как видно из рисунка, проекция дипольного момента (21.1.1.2.1) на ось x:

.

Проекция напряженности электрического поля световой волны на ось x:

,

знак минус означает, что в начальный момент времени вектор направлен против оси x. Напомним, что в нашем уравнении движения (21.1.1.2.2) сила, действующая на электрон, при t = 0 имеет положительный знак.

Выражение для n²

 

Подставим в формулу, полученную в (21.1.1.2) для n², выражения p_x(t), N_x(t) с использованием для x(t) решения уравнения движения, записанное в (21.1.1.2.2):

При усреднении по времени дает . Подставляя выражение для амплитуды A-колебаний электрона (из 21.1.1.2.1) получим:

;
.

На главную