Динамика твердого тела
Момент силы
Опыт показывает,
что при вращении какого-либо тела с помощью рычага существенным оказывается не
только модуль силы, но и длина рычага. В связи с этим вводится понятие момента
силы. Моментом силы 
относительно точки 
называется вектор:
, (10.1)
где
- радиус-вектор точки приложения силы (см. Рис. 10.1).
Вектор 
является аксиальным вектором.
Модуль момента силы равен:
.
(10.2)
Величина 
, где 
- угол между векторами 
и 
, называется плечом силы относительно точки .
Для определения угла радиус вектор продолжается по линии своего действия так, чтобы вектора
и исходили из одной точки. Угол между
вектором и продолжением вектора
и входит в указанную выше формулу.
К продолжению вектора и вектору применяется правило правого винта (см. раздел «Вступление»)
и поступательное движение правого винта указывает на направление вектора
(см. Рис. 10.2). Проекция вектора на произвольную ось 
, проходящую через точку , 
называется моментом силы относительно
оси :
.
(10.3)
Момент силы относительно оси характеризует способность силы вращать тело вокруг этой оси.
При заданном 
величина и направление 
зависят от выбора оси . Проекцию можно выразить в виде:
(10.4)
Обозначения (см. Рис. 3.2): 
- составляющая силы, параллельная оси ; 
- составляющая силы, коллинеарная вектору 
;
- составляющая силы, перпендикулярная
к плоскости, проходящей через ось и вектор . Величина 
называется плечом силы относительно оси . Справедлива теорема Вариньона: если система
сил 
имеет равнодействующую 
,
то момент 
относительно точки
(или относительно оси ) равен сумме
моментов 
составляющих сил относительно
той же точки (или той же оси ):
либо 
. (10.5)
Пара
сил Парой сил называются две равные по модулю и противоположно направленные
силы 
и не действующие вдоль одной
и той же прямой (см. Рис. 10.3.
Продифференцируем по времени вектор момента импульса.
Момент инерции 
Найдем момент импульса 
частицы твердого тела относительно оси вращения ,
т.е. проекцию вектора 
на эту.
Рассмотрим в качестве примера однородный прямой
цилиндр и вычислим его момент инерции относительно геометрической оси 
(см. Рис. 10.5).
Свойства моментов инерции Вычисление момента инерции во многих случаях можно упростить, используя соображения подобия и симметрии, теорему Гюйгенса-Штейнера, также некоторые другие общие соображения, обозначенные ниже как следствие 1 и следствие 2.
Моменты инерции некоторых симметричных тел 
Вычислим некоторые моменты инерции. Рассмотрим момент
инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной ему оси.
Аналогичное
соотношение справедливо и для плоского параллелепипеда, для которого ось
проходит через центр основания со сторонами 
и 
.
Рассмотрим момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно поперечной оси.
Рассмотри момент инерции
сплошного однородного шара. Сплошной шар можно рассмотреть
как совокупность бесконечно тонких сферических слоев с массами 
и текущим радиусом 
. Так как шар однороден, то
,
(10.79)/
Рассмотрим момент инерции трехосного эллипсоида.
Пусть масса 
равномерно распределена
по объему эллипсоида с полуосями , и 
. Направления координатных осей 
, 
, совпадают с главными осями эллипсоида.
Энергетические
характеристики вращательного движения Если тело вращается
вокруг неподвижной оси с угловой скоростью 
,
то элементарная масса 
, отстоящая от оси вращения на расстоянии 
, обладает линейной скоростью 
.
Кинетическая энергия этой массы:
(10.93).
Проведем анализ состава полученного уравнения. Первое
слагаемое в правой части уравнения равно
. Квадрат вектора равен квадрату его модуля, т.е.
,
(10.101).
Тензор инерции Будем считать, что
тело состоит из отдельных материальных точек с массами 
. Закрепим тело в точке . Пусть 
- радиус-векторы точек относительно точки , а 
- мгновенная угловая скорость тела, тогда скорость
точки: 
.
Момент импульса всего тела относительно точки :
. (10.106).
Предположим, что все недиагональные элементы тензора равны нулю, а не равны нулю лишь диагональные элементы и, следовательно, тензор имеет вид:
.
(10.111).
