Высшая математика Интегралы

 

Вычисление объема тела

Объем тела выражается интегралом .где - площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох в точке с абсциссой х , а н b - левая и правая границы изменения х. Функция S(x) предполагается известной и непрерывно меняющейся при изменении х от a до b.Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью абсцисс и прямыми и , выражается интеграломОбъем тела образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми и и прямыми , выра­жается интегралом .Если кривая задана параметрически или в полярных координатах, то следует сделать соответствующую замену переменной в указанных формулах.

Пример 1. Определить объем эллипсоида

Пример 2. Оси двух одинаковых цилиндров с радиусами основания равными , пересекаются под прямым углом. Найти объем тела, составляющего общую часть этих двух цилиндров.

Пример 3. На всех хордах круга радиуса R, параллельных одному направлению, построены симметричные параболические сегменты постоянной высоты h. Плоскос­ти сегментов перпендикулярны к плоскости круга.

Пример 4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох площади, ограниченной осями координат

Пример 5. Фигура, ограниченная дугой синусоиды , осью ординат и прямой , вращается вокруг оси Оу . Определить объем V получающегося тела вращения.

Пример 6. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой и прямой

Пример 7. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболами и .

Пример 8. Найти объем тела, образованного вращением вокруг прямой фигуры, ограниченной параболой и прямой

Пример 9. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной астроидой: ;

Пример 10. Вычислить объем тела, которое получается от вращения кардиоиды , вокруг полярной оси.