Понятие о главных центральных осях инерции сечения

Через центр тяжести можно провести бесчисленное количество пар осей координат. У каждой пары будут свои значения , связанные соотношениями .

Для новых осей существуют формулы, зависящие от угла поворота , которые приведены в учебниках. Можно доказать, что среди этих пар существует в общем случае пара осей относительно которой центробежный момент инерции . Такие оси называются главными. Осевые моменты инерции относительно главных осей обладают свойством экстремальности: относительно одной из них момент инерции самый большой, и относительно другой самый маленький.

Все формулы сопротивления материалов относятся к главным центральным осям инерции сечения.

Если известны моменты инерции относительно центральных осей , , то главные оси и моменты инерции находятся по формулам:

(2.11)

Задача №3

Для бруса, поперечное сечение которого состоит из швеллера №20 и уголка №100х100х8 требуется:

1. Вычертить схему составного поперечного сечения в масштабе 1:2, на которой указать положение всех осей и все размеры.

2. Найти общую площадь составного поперечного сечения.

3. Определить центр тяжести составного сечения

4. Определить осевые и центробежный моменты инерции составного сечения относительно осей, проходящих через его центр тяжести.

5. Найти положение главных центральных осей, значения главных центральных моментов инерции, главных радиусов инерции и выполнить проверки правильности вычисления моментов инерции.

Рассмотрим сечение, состоящее из швеллера и уголка.

По заданию на контрольные работы согласно шифру студент выбирает номера прокатных сечений. В нашем случае это будут швеллер №20 и уголок 100х100х8.

1. Вычертим схему поперечного сечения в масштабе М 1:2, то есть в два раза меньше натурных размеров. Для этого из сортамента выписываем все необходимые геометрические характеристики прокатных профилей, входящих в составное сечение.

а). Для швеллера №20 (ГОСТ 8240-89)

б). Для уголка 100х100х8.

1. Определение общей площади составного сечения.

2. Определение положения центра тяжести (ц.т.) составного сечения. Выбираем вспомогательные оси, которые могут быть выбраны произвольно. В нашем случае для сокращения вычислений за вспомогательные оси примем оси, проходящие через ц.т. швеллера. Тогда координаты ц.т. составного сечения относительно вспомогательных осей можно определить из условий:

Величину статических моментов найдем по зависимостям:

Значения расстояний в скобках приняты отрицательными, т. к. в принятой системе координат от ц.т. швеллера отсчёт ведётся вниз.

Тогда координаты центра тяжести составного сечения относительно вспомогательных осей составят:

3. Определение осевых и центробежного моментов инерции относительно осей, проходящих через центр тяжести составного сечения

(2.9)

Для определения используем формулы, выражающие зависимости между геометрическими характеристиками при параллельном переносе осей.

(2.10)

(2.11)

В этих формулах «а и b» расстояния между осями Xc и Yc и осями, проходящими через центры тяжести швеллера и уголка:

В процессе вычислений по формулам (2.9), (2.10), (2.11), следует помнить о том, что швеллер по принятой схеме изменил свое положение по сравнению с его изображением в сортаменте. Изменение положения приводит и к изменению осевых моментов инерции, то есть .Тогда:

При вычислении центробежного момента инерции составного сечения следует иметь в виду, что , так как швеллер имеет ось симметрии. Для уголка ( см. метод. указания) центробежный момент определим по формуле:

где - угол между осью Х и главной осью Х0, в нашем случае угол , тогда:

Далее получим:

 

Определение геометрических характеристик поперечного сечения Содержание задания Для составного поперечного сечения (см. рисунок) требуется:

Вычертить в масштабе 1:2 или 1:5 все сечение.

Напряженное состояние и теории прочности Содержание задания Для металлической детали дано напряженное состояние в некоторой точке и механические характеристики стали и чугуна.

Построение эпюр поперечных сил, изгибающих моментов и расчет статически определимой балки на прочность.

Расчет вала на кручение Содержание задания Для стального вала, нагруженного четырьмя внешними крутящими моментами (см. рисунок), требуется:

1. Построить эпюру крутящего момента.

Определение линейных и угловых перемещений в однопролетной балке Содержание задания Для статически определимой балки (см. рисунок), загруженной сосредоточенными силами, линейной распределенной нагрузкой и изгибающими моментами, требуется:

Построение эпюр изгибающих моментов, поперечных и нормальных сил в простых рамах.

Расчет стержня с ломаной осью Содержание задания Для стержня с ломаной осью (см. рисунок), нагруженного двумя сосредоточенными силами, требуется:

Построить эпюры крутящего момента Мх и изгибающих моментов Му и Мz: а) от силы ; б) от силы . .

Расчет статически неопределимых балок Содержание задания Для статически неопределимой балки (см. рисунок) с постоянной жесткостью EI = const требуется: Установить степень статической неопределимости.

Расчет составного стержня на продольный изгиб Содержание задания Для составного стального стержня длиной l (см. рисунок), сжатого силой F, необходимо:

С помощью таблицы коэффициентов продольного изгиба подобрать сортамент прокатных профилей, из которых формируется поперечное сечение составного стержня.

Продольный изгиб прямого стержня Содержание задания Для стального стержня длиной l с заданной формой поперечного сечения (см. рисунок), сжатого силой F, необходимо: Найти размеры поперечного сечения при Ry = 220 МПа,.

Расчет бруса на внецентренное сжатие Содержание задания Толстый столб с поперечным сечением, показанным на рисунке, сжат продольной сосредоточенной силой F.

Расчет статически неопределимой рамы Содержание задания Для статически неопределимой рамы (см. рисунок) с постоянной жесткостью EI = const требуется:

1. Установить степень статической неопределимости.

Расчет толстостенного составного цилиндра Содержание задания Для составного открытого цилиндра (см. рисунок), собираемого из двух труб с натягом, известны внутренний радиус внутренней трубы а, внутреннее давление р и расчетное сопротивление стали растяжению, сжатию изгибу по пределу текучести Ry.

Расчет балок на динамическую нагрузку Содержание задания Двигатель весом Q укреплен посередине на двух двутавровых балках (см. рисунок).

Расчет стержневой системы на действие инерционной нагрузки Содержание задания Стержневая система вращается вокруг оси АВ с постоянной угловой скоростью n (об/мин).

Определение предельной нагрузки Содержание задания Для системы, состоящей из трех стержней, требуется:1. Определить предельную продольную силу для каждого стержня.

Расчет трехшарнирной арки Содержание задания Для симметричной трехшарнирной арки кругового очертания и прямоугольного поперечного сечения (h/b = k) требуется:1. Определить опорные реакции.