Операционное исчисление
В основе операционного исчисления лежит преобразование Лапласа Множество функций-оригиналов отображается в множестве функций-изображений, при этом операции над оригиналами переходят в некоторые операции над изображениями. В частности, операции дифференцирования и интегрирования оригиналов переходят в действия соответственно умножения и деления во множестве изображений. Поэтому линейное дифференциальное уравнение в множестве оригиналов преобразуется в алгебраическое уравнение в множестве изображений. Решив полученное алгебраическое уравнение, находим прообраз его решения в множестве оригиналов, затем восстанавливаем решение исходного дифференциального уравнения.
Такова основная идея применений операционного вычисления как символического метода решения некоторых дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.
В настоящее время операционное исчисление широко используется для решения многих прикладных задач, в частности задач радиотехники и электротехники.
ОРИГИНАЛ. ИЗОБРАЖЕНИЕ
Оригиналом
или начальной функцией называется функция 
действительного переменного 
,
удовлетворяющая следующим условиям:
1) 
;
2) при 
функция имеет на каждом отрезке конечной длины пустое или конечное
множество точек разрыва первого рода;
3) при 
функция 
возрастает не быстрее показательной функции, т.е. 
,
такие, что выполняется неравенство 
, обычно под числом 
– показателем роста функции – понимается наименьшее из возможных чисел.
ПРИМЕР 1. Единичная функция Хевисайда обозначается через 
и записывается в виде 
график ее представлен на рисунке. Функция
является оригиналом, причем 
,
.
Очевидно,
что для произвольной функции 
, определенной на 
и удовлетворяющей условиям 2 и 3, произведение
является оригиналом (например,
, 
и т.д.)
ПРИМЕР 2. Функция 
является оригиналом, причем для всех 
имеем 
, т.е. , 
.
ПРИМЕР 3. Функция 
не является оригиналом, поскольку в точке 
функция имеет разрыв второго рода.
ПРИМЕР
4. Функция 
не является оригиналом, так как при 
растет быстрее любой показательной
функции вида 
.
Нетрудно проверить, что произведение оригинала на число, сумма и произведение конечного множества оригиналов есть также оригинал.
Изображением
(по Лапласу) оригинала 
называется комплекснозначная функция 
комплексной переменной 
(иногда 
), определяемая интегралом Лапласа:
.
(1)
Здесь интегрирование проводится по действительной переменной ,
, т.е. интеграл (1) является несобственным,
зависящим от параметра 
, причем область определения функции 
является совокупностью тех комплексных
чисел , для которых интеграл (1)
имеет смысл.
Переход от оригинала к изображению по формуле (1) есть преобразование Лапласа (сокр. ПЛ);
будем обозначать его так:
(читается:
"оригиналу соответствует изображение ").
Теорема (существования изображения)
Пусть
– показатель роста функции . Тогда интеграл Лапласа сходится для всех
таких, что 
, причем для , удовлетворяющих условию 
(
— некоторое число, большее ), сходимость является равномерной.
Справедливость
теоремы следует из соотношений: 
, 
и оценки модуля интеграла Лапласа
,
(2)
верной для всех 
из промежутка 
.
Следствие. Из соотношения (2) имеем равенство
.
(3)
Теорема (об аналитичности изображения)
Изображение Лапласа для оригинала с показателем роста является аналитической функцией переменной в области .
Доказательство теоремы проводится аналогично.
Теоремы
показывают, что не всякая функция от может быть изображением некоторого оригинала.
Изображение должно быть аналитической
функцией комплексной переменной, в частности, удовлетворяющей условию (3), в области
. Впредь будем рассматривать
в области ее существования.
ПРИМЕР 5. Изображение для оригинала 
найдем по формуле (2), а именно: 
, 
.
Здесь при подстановке верхнего предела
имеем 
, так как 
, 
.
Итак, 
, т.е. получаем соотношение 
.
ПРИМЕР 6. Часто используется оригинал
, 
– действительное или комплексное число, а именно:
,
т.е. 
.
Здесь предполагается,
что 
, т.е. 
. В частности, изображение функции 
, 
находится аналогично и определяется соотношением
,
.
Заметим, что иногда для
краткости записи оригинала множитель
опускается, и оригинал вида записывается
в виде 
.
Задание
Установить,
являются ли оригиналами следующие функции: 
; 
; 
, 
?
Ответы: нет, нет, нет, да.
Используя формулу
(1), найти изображение функции 
.
Ответ: 
.
Простейшие свойства преобразования Лапласа
Дифференцирование оригинала
Теорема о сдвиге аргументов оригинала и изображения Теорема о запаздывании оригинала Найти изображение функции, представленной графиком
Изображение периодического сигнала
Если есть 
–периодическая функция, то 
– периодический оригинал. График его есть график
функции, построенный на 
и периодически продолженный на 
.
Представим изображение периодического оригинала в виде
.
Основные свойства преобразования Лапласа
Пример.
Найти оригинал для изображения
.
Пример. Восстановить оригинал по изображению
Обращение преобразования Лапласа Задача восстановления оригинала по известному изображению в общем случае сводится к необходимости рассмотреть обратное преобразование Лапласа. Вопрос о единственности, достаточные условия существования, формулы для нахождения обратного преобразования Лапласа излагаются подробно, например, в [2]. Укажем основные теоремы этой теории.
Примеры применения операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений
ПРИМЕР. Найти
частное решение уравнения 
,
Свертка односторонних функций, ее свойства. Теорема Бореля
Пример.
Найти оригинал , соответствующий изображению 
.
Формулы Дюамеля. Применение их к решению дифференциальных уравнений
