Интеграл Фурье. Преобрацование Фурье
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ
Пусть функция 
определена на 
, 
–периодическая, абсолютно интегрируемая на 
. Тогда (см. [18]) она может быть представлена
тригонометрическим рядом Фурье (сокращенно ТРФ) в комплексной форме
,
, (1)
где 
, 
, 
или в действительной форме
,
(2)
где , 
,
;
,
.
Равенства (1) и (2) понимаются
в смысле поточечной сходимости ТРФ к ;
через 
и 
, как обычно обозначены соответственно
правосторонний и левосторонний пределы функции в точке 
.
Напомним, что свойство абсолютной интегрируемости
–периодической функции
на определяет существование ТРФ, но не
гарантирует сходимости ТРФ к . Требуются дополнительные условия, достаточные для сходимости
ТРФ к "породившей" его функции: например, условия Дирихле или требование
кусочной гладкости на .
Для непериодической функции , , существуют формулы, аналогичные формулам (1) и (2),
представляющие непериодическую функцию через несобственные интегралы специального вида. Проведем
рассуждения (без строгого обоснования), приводящие к одной из таких формул.
Будем
рассматривать непериодическую функцию , , удовлетворяющую условиям:
1)
– абсолютно интегрируема на 
, т.е.
;
(3)
2) для всякого 
удовлетворяет на условиям, достаточным для разложения в ТРФ –периодической функции, совпадающей
на с .
Обозначим через 
–периодическую функцию, совпадающую на с (
— произвольное положительное число). Для имеет место равенство (1).
При
периодическая функция
переходит в непериодическую функцию . Поэтому целесообразно провести предельный переход в
формулах (1) от промежутка к промежутку 
, считая, что при равенство (1) сохраняется. Подставляя значение 
в ТРФ, получим для 
или
, (4)
поскольку
выражение 
не зависит от 
и может быть внесено поэтому под знак интеграла, через
обозначено "приращение"
частоты 
, а именно 
.
Интегралы в слагаемых правой части (4) будем считать значениями интеграла
,
соответственно при 
. Можно ожидать, что при равенство (4) перейдет в приближенное равенство
,
в
котором слагаемые ряда похожи на слагаемые интегральной суммы функции 
,
а сумму ряда можно вроде бы рассматривать как интегральную сумму функции на . Так как при 
, то естественно считать
,
причем знак приближенного равенства заменится знаком точного равенства.
Итак,
при равенство (1) при 
перейдет в равенство
, (5)
которое называется интегральной формулой
Фурье функции , а ее правая часть — интегралом Фурье
(сокращенно ИФ) функции .
Приведенные рассуждения можно завершить формулировкой теоремы.
Теорема
Фурье Пусть функция 1) абсолютно интегрируема на ; 2) кусочно-гладкая на
при любом . Тогда имеет место
интегральная формула Фурье. Заметим, что проведенный предельный переход от ТРФ
к ИФ требует специального обоснования. Нельзя переходить к пределу при непосредственно в ряде, так как обычная
интегральная сумма рассматривается на промежутке конечной длины, причем подынтегральная
функция не меняется с уменьшением длин отрезков разбиения. Спектральные
характеристики функции Различные
записи интеграла Фурье Проиллюстрировать
теорему о свертке оригиналов для функций примера
Дельта
-функция, ее свойства Пример. Найти
изображения функций: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
; е) 
.
Вычисления несобственного
интеграла вида 
Вычислить
. Лемма
Жордана
Вычисления несобственного интеграла
вида 
Вычислить
.
Вычисление интегралов
вида 
Задача . Фокусы эллипса совпадают с фокусами гиперболы
Задача . Дано уравнение кривой
второго порядка 
. Выполнив
поворот и параллельный перенос координатных осей, получить каноническое уравнение
кривой и построить ее в исходной системе координат.
Выполнение третьего задания предполагает знание уравнений прямой на плоскости и в пространстве и уравнений плоскости.
Решим типовую
задачу. Задача . Провести плоскость через перпендикуляры из точки 
к плоскостям 
и 
. Найти расстояние от основания первого
перпендикуляра до второй плоскости.
Четвертое задание предлагает изобразить тело, ограниченное заданными поверхностями второго порядка и плоскостями.
Решим конкретную задачу. Задача. Нарисовать
тело, ограниченное указанными поверхностями. Указать тип поверхностей, ограничивающих
данное тело: 
.
Рассмотрим теперь задачи шестого типа, где предлагается привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка с помощью теории квадратичных форм. Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка
Привести к каноническому виду уравнение
поверхности второго порядка 
с помощью теории квадратичных форм. Сделать рисунок.
