Ряды и интеграл Фурье
Основные сведения
Функция f(x), определенная на
всей числовой оси называется периодической, если существует такое число 
,
что при любом значении х выполняется равенство 
. Число Т называется периодом функции.
Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:
1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т.
2) Если функция f(x) период Т , то функция f(ax) имеет период 
.
[an error occurred while processing this directive]
3)
Если f(x) - периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от
этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т.
е. при любых a и b справедливо равенство 
.
Тригонометрический ряд. Ряд Фурье
Если f(x) разлагается на отрезке 
в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:
(1)
,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:
, где n=1,2, . . .
Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами
называется тригонометрическим рядом Фурье, а 
коэффициентами ряда Фурье.
Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье
Точка
разрыва функции 
называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа
и слева этой функции в данной точке.
ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если периодическая с периодом 
функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва
1-ого рода на отрезке [
] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей,
в каждом из которых f(x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится
к f(x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов
в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).
ТЕОРЕМА
2. Если f(x) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [] вместе со своей производной непрерывна
или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f(x)
в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая
этой теореме называется кусочно-гладкой).
Пример:
Критерий Коши: 
Определение равномерной сходимости функционального ряда на множестве E:
Критерий Коши:
.
Следствие. Если 
Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Ряд Фурье по любой ортогональной
системе функций Последовательность функций 
непрерывных на отрезке [a,b], называется ортогональной
системой функции на отрезке [a,b], если все функции последовательности попарно
ортогональны на этом отрезке, т. е. если 
Система называется ортогональной и
нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],
Задача о колебании струны Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l с концами x=0 и x=l. Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.
Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.
Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье Найдем первые пять гармоник для найденного ряда Разложение четной функции в ряд
Комплексная форма ряда по косинусам
Представление функции интегралом Фурье Проверка условий представимости Представление функции полиномом Лежандра
Дискретное преобразование Фурье
Линейным дифференциальным
уравнением называется уравнение вида: 
Пример Покажем, что если
определитель равен нулю, то функции необязательно линейно зависимы. 
, 
Фундаментальная
система решений линейного однородного уравнения 
Определение: Любые n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ного порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка
Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Пример Рассмотрим случай, когда корни характеристического многочлена совпадают.
