Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Математика задачи на решение числовых рядов

Степенные ряды Поточечная сходимость

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

. (1)

Здесь – числовая последовательность, – фиксированное число (точка). Ряд (1) называется смещенным. Удобнее рассматривать несмещенный степенной ряд

, (2)

а результаты перенести на смещенный степенной ряд заменой на .

Структура множества точек поточечной сходимости степенного ряда (2) определяется следующей теоремой.

ТЕОРЕМА АБЕЛЯ

Если : ряд сходится, то ряд сходится (абсолютно).

Если : ряд расходится, то ряд расходится.

Доказательство. Поскольку ряд сходится, то по необходимому условию . Сходящаяся последовательность всегда ограничена, т.е. .

Пусть – фиксированное и . Тогда , т.е. члены ряда меньше () соответствующих членов ряда , который сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем .

Итак, на исходный ряд сходится (абсолютно).

Пусть ряд расходится. Возьмем произвольное фиксированное . Предположим, что ряд сходится, тогда по доказанному выше в каждой точке ряд сходится, т.е., в частности, ряд сходится, а это противоречит предположению о его расходимости. Требуемое утверждение обосновано.

Замечание. Для множества – точек сходимости ряда (2) (в рассматриваемом случае) , для множества – точек расходимости ряда (2) . Поскольку в каждой точке числовой оси ряд (2) сходится или расходится, то – число (радиус сходимости) такое, что ряд сходится, а для ряд расходится. Интервал – интервал сходимости ряда (2). Поведение ряда при и при требует дополнительного исследования.

Итак, область сходимости несмещенного степенного ряда есть интервал сходимости с возможно присоединенными "концами"; для смещенного степенного ряда область сходимости есть интервал с возможно присоединенными концами или .

Для нахождения – радиуса сходимости можно использовать следующие рассуждения.

(*) В степенном ряде НЕТ нулевых слагаемых, т.е. степени переменной расположены подряд, без пропусков. Степенной ряд имеет вид . В этом случае рассмотрим ряд из абсолютных величин, зафиксируем значение и применим признак Д'Аламбера (или признак Коши). Получим

(требуем) ; аналогично .

Пример . Найдем область сходимости степенного ряда , используя известную структуру его области сходимости. Равномерная сходимость

Разложение функций в степенные ряды Пример Пусть Рассмотрим ряд , можно вычислить радиус сходимости , т.е. на . После почленного дифференцирования получим , т.е. функция – решение задачи Коши ДУ или . Уметь находить промежуток сходимости степенного ряда

Понятие числового ряда Свойства сходящихся рядов

Числовые ряды с неотрицательными членами. Достаточные признаки сходимости Одним из признаков существования предела является следующее утверждение: если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Лемма. Если члены ряда неотрицательны, то он сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Ряд называется знакопеременным, если его членами являются действительные числа произвольного знака. Рассмотрим знакопеременный ряд

Функциональные ряды

Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды.

Задача. Найти сумму ряда. Исследовать на сходимость ряд

Вычислить сумму ряда с точностью . Найти область сходимости ряда

Задача . Представление степенными рядами первообразных "неберущихся" интегралов, т.е. тех интегралов, первообразные которых не выражаются через элементарные функции.

Элементарные функции комплексной переменной (сокр. ФКП) К элементарным ФКП относятся следующие функции: степенная, показательная, тригонометрические, гиперболические; функции, обратные к указанным. Функции, получающиеся из перечисленных в результате суперпозиций, арифметических действий, действий возведения в степень и извлечения корня ""-й степени, обычно тоже называются элементарными Рациональные ФКП Вычислить приближенно . Гиперболические ФКП. Формулы ЭЙЛЕРА Вычислить .

Тригонометрические ряды терменология. Постановка задачи

Разложение функций в степенные ряды Тейлора имеют недостатки: суммой сходящихся степенных рядов могут быть лишь функции, дифференцируемые в точке бесконечное множество раз; частичные суммы степенного ряда приближают функцию только в некоторой окрестности точки разложения и т.д. Вместе с тем как в самой математике, так и в ее приложениях приходится исследовать функции, заданные на промежутках и имеющие там "изломы" и "скачки", т.е. не только недифференцируемые в некоторых точках, но даже и не являющиеся непрерывными на промежутках. Для таких функций может оказаться эффективным представление их тригонометрическими рядами.Периодические функции

Гармоники Простейшими периодическими функциями являются простые гармоники (или просто гармоники) – функции вида _{Условия разложения функции в тригонометрический ряд Фурье}

Из сходимости тригонометрического ряда (4) имеем или . Интуитивно ясно, что равенство возможно лишь при одновременном стремлении нулю последовательностей и при .

Достаточные условия сходимости тригонометрического ряда Фурье Характер и скорость сходимости ТРФ функции определяется не только непрерывностью функции, но главным образом ее гладкостью на промежутке периодичности. Тригонометрические рыды Фурье для четных и нечетных функций Разложение непериодической функции в тригонометрический ряд Фурье

Пример. Разложить функцию , в ТРФ, доопределив ее четным образом на . Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье Рассмотрим –периодическую функцию , ( — время), удовлетворяющую условиям разложимости в ТРФ Обозначим . Пример. Разложить – периодическую функцию , заданную на соотношением в ТРФ в комплексной форме.