Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Математика функции комплексной переменной

Понятие функции комплексной переменной. Простейшие свойства определение ФКП

Если каждому значению комплексной переменной из множества расширенной комплексной
– плоскости по правилу соответствует комплексное число из множества расширенной комплексной – плоскости, то есть комплексная (или комплекснозначная) функция комплексной переменной (сокр. ФКП);
– область определения, – множество значений ФКП .

Если каждому значению соответствует единственное значение , то ФКП называется однозначной,
в остальных случаях ФКП называется многозначной.

К элементарным ФКП относятся следующие функции: степенная, показательная, тригонометрическая, гиперболические; функции,
обратные к указанным. Функции, получающиеся из перечисленных в результате суперпозиций, арифметических действий, действий
возведения в целую степень и извлечения корня ""–й степени, обычно тоже называют элементарными.

Для многозначной ФКП можно выделять однозначные ветви функции, например, для ФКП при каждом конкретном значении .

Область определения ФКП может быть различной структуры.

Задание ФКП на множестве эквивалентно одновременному заданию двух действительнозначных функций двух
действительных переменных:

, (1)

где , , , .

Заметим, что вместо символа часто используется символ .
В нашем тексте эти символы не различаются.

ФКП , не имеет графика. Геометрическую иллюстрацию задания ФКП обычно связывают со свойствами отображения точки в точку по правилу ; – образ точки , – прообраз точки .

Если точка описывает кривую в – плоскости и точка , описывает кривую , то есть образ при отображении .

Установлено [1], что для простейших однозначных ФКП образ границы области есть граница образа области, при этом для образа области сохраняется ориентация его границы. Поэтому для нахождения образа области при отображении определяем в
– плоскости сначала образ границы области , а затем устанавливаем образ самой области .

Задание

1. Выделить и , если ; найти образ точки при этом отображении.

Ответ: , , .

2. Найти образ прямой при отображении .

Ответ: , – мнимая полуось.

3. Найти образ круга при отображении .

Ответ: .

4. Показать, что при отображении область переходит в полуплоскость .

16.2. ПРЕДЕЛ ФКП В ТОЧКЕ

Понятия предела ФКП в точке и непрерывности в точке
(на множестве) определяются аналогично соответствующим понятиям для действительнозначной функции действительного аргумента.

Пусть ФКП определена и однозначна в окрестности точки за исключением, быть может, самой точки .

Число называется пределом ФКП в точке , , если для всякой –окрестности числа в
– плоскости — существует такая –окрестность числа – , что для каждого числа из образ принадлежит , т.е.

.

Это определение имеет место для и как конечных, так и бесконечных. Для конкретного использования определения нужно расшифровать и (см. [18]).

Пример. Показать по определению . Для функции предыдущего примера построить ее частотные спектры

ФКП называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. В силу теоремы, сформулированной в п. 1.2, ФКП непрерывна в точке (на множестве) тогда и только тогда, когда каждая из функций и непрерывна в точке (на множестве) как действительная функция двух действительных переменных. Поэтому же для ФКП справедливы теоремы о непрерывности суммы, произведения и отношения непрерывных функций, а также теорема о непрерывности сложной функции непрерывных функций.

Пример. Построить область, ограниченную линиями: ; ;

Дифференцирование ФКП Определение производной ФКП Условия дифференцируемости ФКП С понятием производной ФКП в точке связано понятие дифференцируемости ФКП в точке (на множестве).

Пример. Показать, что ФКП всюду дифференцируема; вычислить производную ФКП.

Аналитичность ФКП Из множества дифференцируемых ФКП выделяются аналитические ФКП (сокр. АФКП); свойства аналитических ФКП изучает теория аналитических функций комплексной переменной. Однозначная ФКП называется аналитической (иначе регулярной) в области , если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Восстановление аналитической ФКП по известной ее действительной компаненте

Интеграл ФКП определение и свойства интеграла ФКП Пример. Вычислить интеграл , где – отрезок, соединяющий точки и .

Интегрирование аналитической ФКП. Теорема Коши Одним из важнейших свойств аналитической в области ФКП является независимость интеграла этой функции от дуги (от пути интегрирования).

Пример. Вычислить интеграл , – целое.

Интегральная формула Коши Пусть ФКП – аналитическая в односвязной области , произвольный контур "погружен" в , – произвольная точка внутри . Тогда в этой точке значение ФКП определяется через значения на контуре по интегральной формуле

Классификация особых точек ФКП Разложение ФКП в ряд Тейлора Пример. Разложить в ряд ФКП по степеням .

Разложение ФКП в ряд Лорана Пусть однозначная ФКП является аналитической функцией внутри кольца между окружностями и с центром ; пусть – произвольная точка этого кольца.

Пример. Убедиться, что для ФКП ряд Лорана по степеням состоит из конечного числа слагаемых.

Пример. Указать все области, в которых возможно разложение функции в ряды Лорана по степеням . Найти эти разложения.

Классификация изолированных особых точек ФКП Пример. Показать, что функция имеет УОТ .

Пример Показать, что для ФКП точка – полюс второго порядка, точка – полюс первого порядка.

Интегрирование ФКП с помощью вычетов Вычет ФКП в особой точке, его вычичление Понятие вычета является одним из основных понятий в теории ФКП и ее приложениях. Пример. Вычислить вычеты ФКП

Основная теорема о вычетах Пусть ФКП аналитическая на границе области и внутри этой области за исключением конечного множества изолированных особых точек . Построим около каждой особой точки контур так, чтобы внутри была только одна особая точка ; контуры не пересекались; все контуры были расположены внутри , ориентация всех контуров совпадает Пример Для убедиться в выполнении равенства Вычислить .

Интегрирование функции действительной переменной методами теории ФКП