Числовые ряды в действительной области (сокр. в )

Пусть – числовая последовательность, для . Тогда символ , обозначающий последовательное суммирование членов числовой последовательности , называется числовым рядом.

Критерий Коши (для числового ряда)

Ряды с положительными слагаемыми Заметим сразу, что если ряд состоит только из отрицательных слагаемых, то можно перейти к ряду из соответствующих положительных слагаемых (свойство 4, ).

Теорема необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного ряда — через "ограниченность" частичных сумм ; .

Тоерема признак Д'Аламбера

Знакопеременные ряды Ряд, имеющий бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов, называется знакопеременным.

Определение абсолютной сходимости ряда

Типовые задачи

Числовые ряды в комплексной области Всякому комплексному числу , где и – действительные числа, ставится в соответствие точка на плоскости. Множество всех комплексных чисел обозначается через и соответствует точкам плоскости (говорим о комплексной плоскости). Различные формы записи комплексного числа и правил действий с комплексными числами рассмотрены ранее

Для комплекснозначных последовательностей изучаются свойства: сходимость и ограниченность, а также связь между ними.

Числовые рады в ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть – произвольная последовательность комплексных чисел . Тогда символ называют числовым рядом в комплексной области (в ).

Теорема достаточный признак сходимости ряда

Функциональные ряды Пусть – последовательность функций , все члены которой определены на одном и том же множестве значений аргумента , .

Пример решение задачи

Равномерная сходимость ряда

Теоремы о свойствах суммы равномерно сходящихся функциональных рядов

Теорема о почленном интегрировании

Функциональные ряды в комплексной области

Степенные ряды Поточечная сходимость ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . (1)

Пример . Найдем область сходимости степенного ряда , используя известную структуру его области сходимости.

Равномерная сходимость

Разложение функций в степенные ряды Пример Пусть

Рассмотрим ряд , можно вычислить радиус сходимости , т.е. на . После почленного дифференцирования получим , т.е. функция – решение задачи Коши ДУ или .

Уметь находить промежуток сходимости степенного ряда

Понятие числового ряда

Свойства сходящихся рядов

Числовые ряды с неотрицательными членами. Достаточные признаки сходимости Одним из признаков существования предела является следующее утверждение: если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Лемма. Если члены ряда неотрицательны, то он сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Ряд называется знакопеременным, если его членами являются действительные числа произвольного знака. Рассмотрим знакопеременный ряд

Функциональные ряды

Степенные ряды

Разложение функций в степенные ряды.

Задача. Найти сумму ряда.

Исследовать на сходимость ряд

Вычислить сумму ряда с точностью .

Найти область сходимости ряда

Задача . Представление степенными рядами первообразных "неберущихся" интегралов, т.е. тех интегралов, первообразные которых не выражаются через элементарные функции.

Элементарные функции комплексной переменной (сокр. ФКП) К элементарным ФКП относятся следующие функции: степенная, показательная, тригонометрические, гиперболические; функции, обратные к указанным. Функции, получающиеся из перечисленных в результате суперпозиций, арифметических действий, действий возведения в степень и извлечения корня ""-й степени, обычно тоже называются элементарными

Рациональные ФКП Вычислить приближенно .

Гиперболические ФКП.

Формулы ЭЙЛЕРА Вычислить .

Тригонометрические ряды терменология. Постановка задачи

Гармоники Простейшими периодическими функциями являются простые гармоники (или просто гармоники) — функции вида

_{Условия разложения функции в тригонометрический ряд Фурье}

Из сходимости тригонометрического ряда (4) имеем или . Интуитивно ясно, что равенство возможно лишь при одновременном стремлении нулю последовательностей и при .

Достаточные условия сходимости тригонометрического ряда Фурье Характер и скорость сходимости ТРФ функции определяется не только непрерывностью функции, но главным образом ее гладкостью на промежутке периодичности.

Тригонометрические рыды Фурье для четных и нечетных функций

Разложение непериодической функции в тригонометрический ряд Фурье

Пример. Разложить функцию , в ТРФ, доопределив ее четным образом на .

Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье Рассмотрим –периодическую функцию , ( — время), удовлетворяющую условиям разложимости в ТРФ Обозначим .

Пример. Разложить – периодическую функцию , заданную на соотношением в ТРФ в комплексной форме.

Для функции предыдущего примера построить ее частотные спектры Понятие функции комплексной переменной.

Простейшие свойства определение ФКП Пример. Показать по определению .

ФКП называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. В силу теоремы, сформулированной в п. 1.2, ФКП непрерывна в точке (на множестве) тогда и только тогда, когда каждая из функций и непрерывна в точке (на множестве) как действительная функция двух действительных переменных. Поэтому же для ФКП справедливы теоремы о непрерывности суммы, произведения и отношения непрерывных функций, а также теорема о непрерывности сложной функции непрерывных функций.

Пример. Построить область, ограниченную линиями: ; ;

Дифференцирование ФКП Определение производной ФКП

Условия дифференцируемости ФКП С понятием производной ФКП в точке связано понятие дифференцируемости ФКП в точке (на множестве).

Пример. Показать, что ФКП всюду дифференцируема; вычислить производную ФКП.

Аналитичность ФКП Из множества дифференцируемых ФКП выделяются аналитические ФКП (сокр. АФКП); свойства аналитических ФКП изучает теория аналитических функций комплексной переменной. Однозначная ФКП называется аналитической (иначе регулярной) в области , если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Восстановление аналитической ФКП по известной ее действительной компаненте

Интеграл ФКП определение и свойства интеграла ФКП

Пример. Вычислить интеграл , где – отрезок, соединяющий точки и .

Интегрирование аналитической ФКП. Теорема Коши Одним из важнейших свойств аналитической в области ФКП является независимость интеграла этой функции от дуги (от пути интегрирования).

Пример. Вычислить интеграл , – целое.

Интегральная формула Коши Пусть ФКП – аналитическая в односвязной области , произвольный контур "погружен" в , – произвольная точка внутри . Тогда в этой точке значение ФКП определяется через значения на контуре по интегральной формуле

Классификация особых точек ФКП Разложение ФКП в ряд Тейлора Пример.

Разложить в ряд ФКП по степеням .

Разложение ФКП в ряд Лорана Пусть однозначная ФКП является аналитической функцией внутри кольца между окружностями и с центром ; пусть  — произвольная точка этого кольца.

Пример. Убедиться, что для ФКП ряд Лорана по степеням состоит из конечного числа слагаемых.

Пример. Указать все области, в которых возможно разложение функции в ряды Лорана по степеням . Найти эти разложения.

Классификация изолированных особых точек ФКП Пример.

Показать, что функция имеет УОТ .

Пример Показать, что для ФКП точка – полюс второго порядка, точка – полюс первого порядка.

Интегрирование ФКП с помощью вычетов

Вычет ФКП в особой точке, его вычичление Понятие вычета является одним из основных понятий в теории ФКП и ее приложениях.

Пример. Вычислить вычеты ФКП

Основная теорема о вычетах

Пример Для убедиться в выполнении равенства

Вычислить .

Интегрирование функции действительной переменной методами теории ФКП

В основе операционного исчисления лежит преобразование

Простейшие свойства преобразования Лапласа

Интегрирование оригинала

Дифференцирование оригинала

Интегрирование изображения

Теорема о сдвиге аргументов оригинала и изображения Теорема о запаздывании оригинала

Найти изображение функции, представленной графиком

Изображение периодического сигнала

Основные свойства преобразования Лапласа

Пример. Найти оригинал для изображения .

Пример. Восстановить оригинал по изображению

Обращение преобразования Лапласа Задача восстановления оригинала по известному изображению в общем случае сводится к необходимости рассмотреть обратное преобразование Лапласа. Вопрос о единственности, достаточные условия существования, формулы для нахождения обратного преобразования Лапласа излагаются подробно, например, в [2]. Укажем основные теоремы этой теории.

Примеры применения операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений

ПРИМЕР. Найти частное решение уравнения ,

Свертка односторонних функций, ее свойства. Теорема Бореля

Пример. Найти оригинал , соответствующий изображению .

Формулы Дюамеля. Применение их к решению дифференциальных уравнений

Интеграл Фурье. Преобрацование Фурье

Теорема Фурье Пусть функция 1) абсолютно интегрируема на ; 2) кусочно-гладкая на при любом . Тогда имеет место интегральная формула Фурье. Заметим, что проведенный предельный переход от ТРФ к ИФ требует специального обоснования. Нельзя переходить к пределу при непосредственно в ряде, так как обычная интегральная сумма рассматривается на промежутке конечной длины, причем подынтегральная функция не меняется с уменьшением длин отрезков разбиения.

Спектральные характеристики функции

Различные записи интеграла Фурье

Проиллюстрировать теорему о свертке оригиналов для функций примера

Дельта -функция, ее свойства

Пример. Найти изображения функций: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Вычисления несобственного интеграла вида

Вычислить .

Лемма Жордана

Вычисления несобственного интеграла вида

Вычислить .

Вычисление интегралов вида

Задача . Фокусы эллипса совпадают с фокусами гиперболы

Задача . Дано уравнение кривой второго порядка . Выполнив поворот и параллельный перенос координатных осей, получить каноническое уравнение кривой и построить ее в исходной системе координат.

Выполнение третьего задания предполагает знание уравнений прямой на плоскости и в пространстве и уравнений плоскости.

Решим типовую задачу. Задача . Провести плоскость через перпендикуляры из точки к плоскостям и . Найти расстояние от основа­ния первого перпендикуляра до второй плоскости.

Четвертое задание предлагает изобразить тело, ограниченное заданными поверхностями второго порядка и плоскостями.

Решим конкретную задачу. Задача. Нарисовать тело, ограниченное указанными поверхностями. Указать тип поверхностей, ограничивающих данное тело: .

Задача . Решить систему

Рассмотрим теперь задачи шестого типа, где предлагается привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка с помощью теории квадратичных форм. Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка

Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка с помощью теории квадратичных форм. Сделать рисунок.

Ряды и интеграл Фурье Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число , что при любом значении х выполняется равенство . Число Т называется периодом функции.

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций Последовательность функций непрерывных на отрезке [a,b], называется ортогональной системой функции на отрезке [a,b], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],

Задача о колебании струны Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l с концами x=0 и x=l. Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.

Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.

Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье

Найдем первые пять гармоник для найденного ряда

Разложение четной функции в ряд

Комплексная форма ряда по косинусам

Представление функции интегралом Фурье Проверка условий представимости Представление функции полиномом Лежандра

Дискретное преобразование Фурье

Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение вида: Пример Покажем, что если определитель равен нулю, то функции необязательно линейно зависимы. ,

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения

Определение: Любые n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ного порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка

Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Пример Рассмотрим случай, когда корни характеристического многочлена совпадают.